AI 中文总结
本文在三种可解群（灯夫群、Baumslag--Solitar 群、Sol 群）上构造反例，证明中心 Hardy--Littlewood 极大算子对任意 $p\ge1$ 均非弱型，首次给出有限生成群中弱型 $(1,1)$ 失败的例子。
AI 中文摘要
我们证明，在三种可解情形下，中心 Hardy--Littlewood 极大算子对任意 $1\le p<\infty$ 都不具有弱型 $(p,p)$：带 switch--walk--switch 字度量的灯夫群 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}$、带数字字度量的 Baumslag--Solitar 群 $BS(1,n)$（$n\ge2$），以及带任意左不变黎曼度量及其黎曼体积的三维 Sol 群。据我们所知，我们首次给出了配备字度量和计数测度的有限生成群的例子，其中中心 Hardy--Littlewood 极大算子不满足弱型 $(1,1)$。
英文摘要
We prove that the centered Hardy--Littlewood maximal operator is not of weak type $(p,p)$ for any $1\le p<\infty$ in three solvable settings: the lamplighter group $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\wr\mathbb{Z}$ with the switch--walk--switch word metric, the Baumslag--Solitar groups $BS(1,n)$, $n\ge2$, with their digit word metrics, and the three-dimensional Sol group with any left-invariant Riemannian metric and its Riemannian volume. To the best of our knowledge, we give the first examples of finitely generated groups, equipped with word metrics and counting measure, for which the centered Hardy--Littlewood maximal operator fails to be of weak type $(1,1)$.
