发表机构
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文通过深入挖掘已有结果并结合模函数的普通迹和Kronecker同余式，为Sylvester猜想的情形8提供了一个更简单直接的证明，避免了复杂工具，为这一古老猜想画上完美句号。
AI 中文摘要
已有150年历史的Sylvester猜想断言：每个素数$p\equiv 4,7,8\mod 9$都可以表示为两个有理数的立方和。最近，这一古老问题的一个证明由两部分工作获得：我针对情形4和7的工作（见文献[Yin]）以及Burungale-Tian针对情形8的工作（见文献[BT]）。Burungale-Tian的论文本质上使用了文献[Yin]中的结果，但并未充分利用其全部力量。他们对情形8的证明复杂且难以理解。在本文中，我们通过深入挖掘我在文献[Yin]中的结果，并结合我之前在文献[Yin8]中关于情形8的工作思路，给出了一个更为简单且直接的证明。特别地，我们使用了模函数的普通迹和Kronecker同余式，而不采用文献[BT]中的Gross-Zagier公式、$\sqrt{-3}$-除边界和Fermat同源。这一简洁证明为这个古老的简洁猜想画上了完美的句号。
英文摘要
The 150 years old Sylvester's conjecture asserts that every prime $p\equiv 4,7,8\mod 9$ is the sum of two rational cubes. Recently, a proof of this old problem is obtained by the work of mine for the case 4,7 \cite{Yin} and the work of Burungale-Tian for the case 8 \cite{BT}. Burungale-Tian's paper essentially uses the results of paper \cite{Yin}, but does not make full use of the power. Their proof for the case $8$ is complicated and hard to follow. In this paper we give a much simpler and direct proof by deep mining my result in \cite{Yin} combining with the ideas of my previous work on case 8 in \cite{Yin8}. In particular, we use the ordinary trace and the Kronecker congruence of modular functions, but do not use the Gross-Zagier formula, $\sqrt{-3}$-division boundary and Fermat isogeny as in \cite{BT}.This concise proof provides a perfect end to this old concise conjecture.
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