发表机构
Universidad de Cantabria; Chuo University（坎塔布里亚大学; 中央大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文为修正贝塞尔函数乘积及其对数导数之和建立了带最优常数的尖锐双侧不等式，证明基于辅助函数的二阶微分不等式与强极大值原理，并应用于乘积单调性和比值改进。
AI 中文摘要
我们证明，对所有 $x > 0$，修正贝塞尔函数的乘积满足 \\[ \frac{1}{2\sqrt{x^2+\nu^2+1/5}}<I_\nu(x)K_\nu(x)<\frac{1}{2\sqrt{x^2+\nu^2-1/4}}, \\] 其中下界对 $\nu>-1$ 成立，上界对 $\nu\ge 1/2$ 成立，并且对数导数之和满足 \\[ -\frac{x}{x^2+\nu^2-1}<\frac{I_\nu'(x)}{I_\nu(x)}+\frac{K_\nu'(x)}{K_\nu(x)}<-\frac{x}{x^2+\nu^2+7/20}, \\] 其中上界对 $\nu>-1$ 成立，下界对 $\nu\ge 1$ 成立。所有四个常数都是最优的。四个证明共享相同的基本结构：在每种情况下，相关的辅助函数满足一个二阶微分不等式，并且该不等式由强极大值原理得出。在其他应用中，我们获得了乘积的尖锐单调性性质以及比值 $I_{\nu-1}(x)/I_\nu(x)$ 和 $K_{\nu+1}(x)/K_\nu(x)$ 的改进界。
英文摘要
We prove that, for all $x > 0$, the product of modified Bessel functions satisfies \[ \frac{1}{2\sqrt{x^2+ν^2+1/5}}<I_ν(x)K_ν(x)<\frac{1}{2\sqrt{x^2+ν^2-1/4}} , \] where the lower bound holds for $ν>-1$ and the upper bound for $ν\ge 1/2$, and that the sum of the logarithmic derivatives satisfies \[ -\frac{x}{x^2+ν^2-1}<\frac{I_ν'(x)}{I_ν(x)}+\frac{K_ν'(x)}{K_ν(x)}<-\frac{x}{x^2+ν^2+7/20}, \] where the upper bound holds for $ν>-1$ and the lower bound for $ν\ge 1$. All four constants are best possible. The four proofs share the same elementary structure: in each case the relevant auxiliary function satisfies a second-order differential inequality, and the inequality follows from the strong maximum principle. Among other applications, we obtain sharp monotonicity properties of the product and improved bounds for the ratios $I_{ν-1}(x)/I_ν(x)$ and $K_{ν+1}(x)/K_ν(x)$.
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