发表机构
The Institute of Mathematical Sciences; Homi Bhabha National Institute（马哈拉施特拉数学研究所; 霍米·巴巴国立研究所）
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本文给出 plethysm 系数两个稳定性结果的简短证明，并建立稳定值与 Weyl 模重数的新联系，提出稳定 Foulkes 系数的向量划分函数公式。
AI 中文摘要
Plethysm 系数 $\langle h_n[h_m], s_\lambda \rangle$ 是 $GL_N(\mathbb{C})$ 的表示 $\mathrm{Sym}^n(\mathrm{Sym}^m(\mathbb{C}^N))$ 中 Weyl 模 $W_\lambda(\mathbb{C}^N)$ 的重数。我们给出两个稳定性结果的简短证明：Bowman 和 Paget 的定理，即当 $m, n \geq |\lambda|$ 时 $\langle h_n[h_m], s_{\lambda[mn]} \rangle$ 为常数；以及 Brion 的定理，即当 $d \to \infty$ 时 $\langle h_n[h_{m+d}], s_{\lambda+(nd)} \rangle$ 趋于稳定。关键步骤是向量划分函数的稳定性。我们证明 Bowman 和 Paget 定理中的稳定值等于 $\langle h_{\lfloor|\lambda|/2\rfloor}[H-h_1], s_\lambda \rangle$。我们的主要新结果将该稳定值与 $GL_{|\lambda|}(\mathbb{C})$ 的表示中 Weyl 模的重数联系起来。我们给出了稳定 Foulkes 系数关于某个向量划分函数的公式。
英文摘要
The plethysm coefficient $\langle h_n[h_m], s_λ\rangle$ is the multiplicity of the Weyl module $W_λ(\mathbb{C}^N)$ in the representation $\mathrm{Sym}^n(\mathrm{Sym}^m(\mathbb{C}^N))$ of $GL_N(\mathbb{C})$. We give short proofs of two stability results: the theorem of Bowman and Paget that $\langle h_n[h_m], s_{λ[mn]} \rangle$ is constant for $m, n \geq |λ|$, and Brion's theorem that $\langle h_n[h_{m+d}],\allowbreak s_{λ+(nd)} \rangle$ stabilizes as $d \to \infty$. A key step is the stability of vector partition functions. We show that the stable value in the theorem of Bowman and Paget equals $\langle h_{\lfloor|λ|/2\rfloor}[H-h_1], s_λ\rangle$. Our main new result connects this stable value to the multiplicity of the Weyl module in a representation of $GL_{|λ|}(\C)$. We give a formula for the stable Foulkes' coefficient in terms of a certain vector-partition function.
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