发表机构
The University of North Carolina at Chapel Hill; Beijing Institute of Technology; Arizona State University（北卡罗来纳大学教堂山分校; 北京理工大学; 亚利桑那州立大学）
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本文研究度量测度空间上随机反应扩散方程，提出一般可检验条件保证温和解存在唯一，并证明比较原理与严格正性，涵盖非对称热核及度量图、分形空间等例子。
AI 中文摘要
我们研究度量测度空间 $(\mathbb{X}, d,m)$ 上的抛物型随机偏微分方程，其形式为 $$ \partial_t u(t,x) = \mathcal{L}^* u(t,x) + b(t,x,u(t,x)) + \sigma(t,x,u(t,x)) \dot{W}(t,x),\quad t>0,\\, x \in \mathbb X, $$ 其中 $\mathcal{L}$ 是一个具有转移密度的马尔可夫过程的生成元，$\dot{W}$ 是时间上白噪声且可能具有空间相关性的高斯噪声。我们假设系数 $b$ 和 $\sigma$ 是 Lipschitz 连续的，并满足线性增长条件。我们提出了关于 $(\mathbb{X},\mathcal{L},\dot{W})$ 的一般且可检验的假设，以确保概率强、连续、温和解的存在唯一性。然后，我们证明了比较原理（包括强比较原理）以及相对于初始条件的严格正性。我们的框架允许非对称热核，并包含扩散型和稳定型例子，例如具有次高斯热核估计的度量图和分形空间。
英文摘要
We study parabolic stochastic partial differential equations on metric measure spaces $(\mathbb{X}, d,m)$ of the form $$ \partial_t u(t,x) = \mathcal{L}^* u(t,x) + b(t,x,u(t,x)) + σ(t,x,u(t,x)) \dot{W}(t,x),\quad t>0,\, x \in \mathbb X, $$ where $\mathcal{L}$ is the generator of a Markov process which possesses transition densities, and $\dot{W}$ is a Gaussian noise that is white in time and possibly with spatial correlation. We assume the coefficients $b$ and $σ$ are Lipschitz and satisfy the linear growth condition. We formulate general and checkable assumptions on $(\mathbb{X},\mathcal{L},\dot{W})$ that ensure existence and uniqueness of probabilistically strong, continuous, tempered mild solutions. We then prove comparison principles (including a strong comparison principle) and strict positivity, relative to initial conditions. Our framework allows non-symmetric heat kernels and includes diffusion-type and stable-type examples, such as metric graphs and fractal spaces with sub-Gaussian heat kernel estimates.
