球面中具有平坦法丛的极小子流形的余维约化
Codimension Reduction of Minimal Submanifolds with Flat Normal Bundle in Spheres
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中文总结 AI 辅助
本文研究球面中具有平坦法丛的极小子流形的余维约化，证明在第二基本形式范数小于2n或满足特定特征值条件时，流形必位于低维球面中，并验证上界最优性。
中文摘要 AI 辅助
设 $x:M^n\to\mathbb{S}^{n+q}$ 是完备连通流形到球面的极小浸入，其法丛平坦，其中 $n\ge3$ 且 $q\ge2$。我们证明：若第二基本形式的平方范数 $S$ 满足 $S<2n$，则 $M^n$ 位于 $\mathbb{S}^{n+1}$ 中。三个球面的标准极小乘积表明上界 $2n$ 是最优的。我们还证明了在条件 $S+\lambda_2\le 2n+\frac{2n}{3n-2}$ 下的余维约化定理，其中 $\lambda_2$ 是形状算子 Gram 矩阵的第二大特征值，由此推出 $M^n$ 位于 $\mathbb{S}^{n+1}$ 中。
英文摘要
Let $x:M^n\to\mathbb{S}^{n+q}$ be a minimal immersion of a complete connected manifold with flat normal bundle, where $n\ge3$ and $q\ge2$. We prove that if the squared norm of the second fundamental form $S$ satisfies $S<2n$, then $M^n$ lies in $\mathbb{S}^{n+1}$. The standard minimal products of three spheres show that the upper bound $2n$ is optimal. We also prove a codimension reduction theorem under the condition $S+λ_2\le 2n+\frac{2n}{3n-2}$, where $λ_2$ is the second largest eigenvalue of the Gram matrix of the shape operators, implying that $M^n$ lies in $\mathbb{S}^{n+1}$.
发表机构
- School of Mathematics, Hangzhou Normal University（杭州师范大学数学学院）
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