发表机构
Portland State University; CNRS, LIRMM; UCSB; Institute of Mathematical Sciences; UC Santa Cruz; New York University Shanghai（波特兰州立大学; 法国国家科学研究中心，LIRMM; 加州大学圣塔芭芭拉分校; 数学科学研究所; 加州大学圣克鲁兹分校; 纽约大学上海分校）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
针对度量违规距离问题，本文给出了单指数时间算法、线性核，并证明了树度量情形为固定参数可解，同时提供了紧的下界。
AI 中文摘要
给定一个边权重表示相异度的完全图，度量违规距离问题询问是否可以通过修改至多 $k$ 个权重使其成为一个度量。受噪声数据度量修复的启发，该问题因 Cohen-Addad、Fan、Lee 和 de Mesmay [SIAM J. Comput., 2025] 的工作而具有多项式时间的 $O(\log n)$ 近似算法。在参数化复杂性方面，Fan、Gilbert、Raichel、Sonthalia 和 Van Buskirk [SWAT 2020] 给出了一个 $k^{O(k)}n^{O(1)}$ 时间的算法。Fomin、Golovach 和 More [IPEC 2026] 在超度量情形下获得了 $O(k^2)$ 的核以及一个单指数算法。他们提出了以下问题：一般度量是否允许单指数算法和多项式核，以及树度量类比问题是否具有固定参数可解性。我们回答了所有这三个问题。我们给出了一个 $2^{O(k)}n^{O(1)}$ 时间的算法，并证明除非 ETH 失败，否则不存在 $2^{o(k)}n^{O(1)}$ 时间的算法，即使所有输入距离都在集合 $\{1,2,3\}$ 中也是如此。我们还给出了一个至多包含 $6k$ 个顶点的核。该核支持解提升，并且可以前置到任何近似算法之前。与 Cohen-Addad、Fan、Lee 和 de Mesmay 的 $O(\log n)$ 近似相结合，它产生了一个 $O(\log \mathrm{OPT})$ 的近似，且渐近运行时间没有增加。这两个结果都推广到一种区间泛化，其中每条边 $e$ 有一个观测值 $M_e$ 和一个允许重新赋值的可接受范围 $[A_e,B_e]$；此时核有 $7k$ 个顶点。最后，树度量违规距离是固定参数可解的，并且可以在 $k^{O(k)}n^{O(1)}$ 时间内求解。
英文摘要
Given a complete graph whose edge weights represent dissimilarities, Metric Violation Distance asks whether at most $k$ weights can be changed to form a metric. Motivated by metric repair for noisy data, the problem admits a polynomial-time $O(\log n)$-approximation due to Cohen-Addad, Fan, Lee and de Mesmay [SIAM J. Comput., 2025]. In the context of parameterized complexity, Fan, Gilbert, Raichel, Sonthalia and Van Buskirk [SWAT 2020] gave a $k^{O(k)}n^{O(1)}$-time algorithm. Fomin, Golovach and More [IPEC 2026] obtained an $O(k^2)$ kernel and a single-exponential algorithm for the ultrametric case. They asked whether general metrics admit a single-exponential algorithm and a polynomial kernel, and whether the tree-metric analogue is fixed-parameter tractable. We answer all three questions. We give a $2^{O(k)}n^{O(1)}$-time algorithm and prove that, unless ETH fails, no $2^{o(k)}n^{O(1)}$-time algorithm exists, even when all input distances lie in $\{1,2,3\}$. We also give a kernel with at most $6k$ vertices. The kernel supports solution lifting and can precede any approximation algorithm. Combined with the $O(\log n)$-approximation of Cohen-Addad, Fan, Lee and de Mesmay, it yields an $O(\log \mathrm{OPT})$-approximation at no asymptotic cost in running time. Both results extend to an interval generalization in which each edge $e$ has an observed value $M_e$ and an admissible range $[A_e,B_e]$ within which it may be reassigned; the kernel then has $7k$ vertices. Finally, Tree Metric Violation Distance is fixed-parameter tractable and solvable in $k^{O(k)}n^{O(1)}$ time.
