发表机构
School of Mathematics and Statistics, Huazhong University of Science and Technology（华中科技大学数学与统计学院）
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本文建立了凸域 $p$-容量基于曲率的上下界，确定了临界指数，并给出容量--面积不等式及刚性刻画。
AI 中文摘要
我们建立了凸域的 $p$-容量的基于曲率的界以及相关的容量--面积不等式。设 $K$ 表示 $\partial\Omega$ 的 Gauss--Kronecker 曲率。在欧几里得空间中，若 $0<K_-\leq K\leq K_+$，则对每个 $1<p\leq \frac{n+1}{2}$，有 $$ \operatorname{Cap}_p\left(B(K_+^{\frac{1}{1-n}})\right) \leq \operatorname{Cap}_p(\Omega) \leq \operatorname{Cap}_p\left(B(K_-^{\frac{1}{1-n}})\right). $$ 下界比较对全范围 $1<p<n$ 仍然成立。此外，上界比较中的指数范围在一般情况下是最优的：当 $n\geq 4$ 且 $\frac{n+1}{2}<p<n$ 时，上界比较可能失效。因此 $p=\frac{n+1}{2}$ 是曲率半径上界比较的临界指数。在夹逼条件 $\frac{K_-}{K_+}=\rho\in (0, 1]$ 下，我们进一步对每个 $1<p<n$ 获得了一个显式的尺度不变的容量--面积下界。在特殊情况 $n=3$ 和 $p=2$ 下，$$ \frac{\operatorname{Cap}_2(\Omega)} {\sqrt{|\partial\Omega|}} \geq \frac{4\sqrt{\pi}\\,\rho^{1/4}} {1+\sqrt{\rho}}, $$ 这蕴含了 Pólya--Szegö 不等式，只要 $$ \rho\geq \rho_*:= \left( \frac{\pi^2-4-\pi\sqrt{\pi^2-8}}{4} \right)^2 \simeq 0.15484. $$ 在具有 $\operatorname{Sec}\leq -k^2<0$ 的 Cartan--Hadamard 流形上，我们获得了保留边界所有主曲率的 $p$-容量下界，以及相应的 Gauss--Kronecker 曲率估计和等号情形的刚性刻画，该等号情形由扭曲积外部几何给出。
英文摘要
We establish curvature-based bounds for the $p$-capacity of convex domains and related capacity--area inequalities. Let $K$ denote the Gauss--Kronecker curvature of $\partialΩ$. In Euclidean space, if $ 0<K_-\leq K\leq K_+, $ then, for every $1<p\leq \frac{n+1}{2}$, $$ \operatorname{Cap}_p\left(B(K_+^{\frac{1}{1-n}})\right) \leq \operatorname{Cap}_p(Ω) \leq \operatorname{Cap}_p\left(B(K_-^{\frac{1}{1-n}})\right). $$ The lower comparison remains valid for the full range $1<p<n$. Moreover, the exponent range in the upper comparison is optimal in general: when $n\geq 4$ and $\frac{n+1}{2}<p<n$, the upper comparison may fail. Thus $p=\frac{n+1}{2}$ is the critical exponent for the curvature-radius upper comparison. Under the pinching condition $ \frac{K_-}{K_+}=ρ\in (0, 1], $ we further obtain an explicit scale-invariant capacity--area lower bound for every $1<p<n$. In the special case $n=3$ and $p=2$, $$ \frac{\operatorname{Cap}_2(Ω)} {\sqrt{|\partialΩ|}} \geq \frac{4\sqrtπ\,ρ^{1/4}} {1+\sqrtρ}, $$ which implies the Pólya--Szegö inequality whenever $$ ρ\geq ρ_*:= \left( \frac{π^2-4-π\sqrt{π^2-8}}{4} \right)^2 \simeq 0.15484. $$ On a Cartan--Hadamard manifold with $\operatorname{Sec}\leq -k^2<0$, we obtain a $p$-capacity lower bound retaining all principal curvatures of the boundary, together with corresponding Gauss--Kronecker curvature estimates and a rigidity characterization of the equality case by a warped-product exterior geometry.
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