基本超几何级数的正性与 MacMahon 恒等式

中文摘要 AI 辅助

基本超几何级数 ${}_{n+1}\phi_{n}$，其上下参数为满足特定约束的 $q$ 的非负整数幂，在归一化后可计算为一个正多项式。我们推导出该多项式的三个公式。第一个公式是 MacMahon 恒等式的推广，其中无限二项式级数被等同于多重集排列的 des 和 maj 统计量的归一化生成函数。第二个公式是多重集排列关于逆序统计量和统计量 mstc 的推广的生成函数。第三个公式是包含 $2n$ 个 $q$-二项式系数的有限和。

英文摘要

The basic hypergeometric series ${}_{n+1}ϕ_{n}$ whose upper and lower parameters are non-negative integer powers of $q$ satisfying a certain constraint can be, after a normalisation, computed as a positive polynomial. We derive three formulas for this polynomial. The first formula is a generalisation of the MacMahon identity in which an infinite binomial series is identified with a normalised generating function of des and maj statistics of multiset permutations. The second formula is a generating function of multiset permutations for the inversion statistic and a generalisation of the statistic mstc. The third formula is a finite sum containing $2n$ $q$-binomial coefficients.

发表机构

• School of Mathematics and Statistics, The University of Melbourne（墨尔本大学数学与统计学院）

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