发表机构
University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）
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本研究确定了Szarek不等式的最佳常数c，并证明其值为(2-√2)^(3/2)/8，等号在特定向量处取得，完善了相关研究。
AI 中文摘要
设 $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n$ 为独立的Rademacher随机变量。我们确定了最佳常数 $c$，使得不等式 \\[ \mathbb{E}\Bigl|\sum_{j=1}^n a_j\varepsilon_j\Bigr| \ge \frac{1}{\sqrt{2}} +c\Bigl|a-\frac{e_1+e_2}{\sqrt{2}}\Bigr| \\] 对所有 $n\ge 2$ 及满足 $a_1\ge\cdots\ge a_n\ge 0$ 的单位向量 $a\in\mathbb{R}^n$ 成立。我们证明最优常数为 $c=(2-\sqrt{2})^{3/2}/8$，且在 $n\ge 4$ 时，等号在 $a=\frac{1}{2}(1,1,1,1,0,\ldots,0)$ 处取得。这完成了De-Diakonikolas-Servedio、Eskenazis-Nayar-Tkocz和Fang-Wang的研究脉络。
英文摘要
Let $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n$ be independent Rademacher random variables. We settle the best constant $c$ such that \[ \mathbb{E}\Bigl|\sum_{j=1}^n a_j\varepsilon_j\Bigr| \ge \frac{1}{\sqrt{2}} +c\Bigl|a-\frac{e_1+e_2}{\sqrt{2}}\Bigr| \] holds for every $n\ge 2$ and every unit vector $a\in\mathbb{R}^n$ with $a_1\ge\cdots\ge a_n\ge 0$. We prove that the optimal constant is $c=(2-\sqrt{2})^{3/2}/8$, with equality attained at $a=\frac{1}{2}(1,1,1,1,0,\ldots,0)$ for $n\ge 4$. This completes a line of research by De-Diakonikolas-Servedio, Eskenazis-Nayar-Tkocz and Fang-Wang.
