发表机构
Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文引入本质维数的有限度剖面与跳跃度，刻画挠元在域扩张下所需参数的最小变化，并证明 Sylow 可除性、秩-指数定理，确定交换群及 $S_5$ 等群的跳跃度，如 $d_1(S_5)=4$ 表明 Klein 约化最优。
AI 中文摘要
本质维数计数了定义挠元（torsor）所需的参数个数，但它在域扩张下可能急剧下降，并且它并未说明需要多大的扩张。对于域 $F\supseteq k$ 上的 $G$-挠元 $\tau$，我们研究有限度剖面 $\edd d_k(\tau)=\min\{\ed_k(\tau\otimes_FF'):[F':F]\le d\}$，这是 Farb--Kisin--Wolfson 和 Farb--Wolfson 不变量的一个变体，以及其跳跃度 $d_j(\tau)$，即 $\tau$ 仅需 $j$ 个参数的扩张的最小次数。该剖面在每个域上都是几何的：$\edd d_k(\tau)\le j$ 当且仅当某个维数 $\le j$ 的泛自由 $G$-簇在其被 $\tau$ 扭曲的自由轨迹中有一个次数 $\le d$ 的闭点。我们证明了跳跃度的 Sylow 可除性定理和一个赋值论秩--指数定理，$\edd d_k(\tgen)\ge\min\{\rk B:B\le A,\\ [A:B]\le d\}$ 对阶与 $\operatorname{char}k$ 互素的交换群 $A$ 成立，该定理确定了每个交换群在具有足够单位根的域上的剖面，例如对 $(\Z/2)^n$ 为 $n-\lfloor\log_2d\rfloor$。在特征 0 中，对 $\Z/p$ 我们证明 $\lceil m/2\rceil\le d_1\le[k(\zeta_p+\zeta_p^{-1}):k]$，其中 $m=[k(\zeta_p):k]$，且当 $m$ 为偶数时等式成立。在特征 0 中，对 $S_5$ 我们证明 $d_1=4$，因此 Klein 对一般五次方程的约化是最优的；下界来自 Abel--Jacobi 刚性，而非上同调不变量。对 $n\ge6$，有 $6\mid d_1(S_n)$。
英文摘要
Essential dimension counts the parameters needed to define a torsor, but it can drop sharply over a field extension, and it does not say how large an extension is needed. For a $G$-torsor $τ$ over a field $F\supseteq k$ we study the \emph{finite-degree profile} $\edd d_k(τ)=\min\{\ed_k(τ\otimes_FF'):[F':F]\le d\}$, a variant of invariants of Farb--Kisin--Wolfson and Farb--Wolfson, and its jump degrees $d_j(τ)$, the least degree of an extension over which $τ$ needs only $j$ parameters. The profile is geometric over every field: $\edd d_k(τ)\le j$ iff some generically free $G$-variety of dimension $\le j$ has a closed point of degree $\le d$ in the free locus of its twist by $τ$. We prove a Sylow divisibility theorem for jump degrees and a valuation-theoretic rank--index theorem, $\edd d_k(\tgen)\ge\min\{\rk B:B\le A,\ [A:B]\le d\}$ for abelian $A$ of order prime to $\operatorname{char}k$, which determines the profile of every abelian group over a field with enough roots of unity, for instance $n-\lfloor\log_2d\rfloor$ for $(\Z/2)^n$. For $\Z/p$ in characteristic $0$ we show $\lceil m/2\rceil\le d_1\le[k(ζ_p+ζ_p^{-1}):k]$, $m=[k(ζ_p):k]$, with equality for $m$ even. For $S_5$ in characteristic $0$ we prove $d_1=4$, so Klein's reduction of the generic quintic is optimal; the lower bound comes from Abel--Jacobi rigidity, not from cohomological invariants. For $n\ge6$, $6\mid d_1(S_n)$.
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