素数 $p \equiv 7 \pmod{36}$ 的一次幂 Erdős 猜想
The One-Power Erdős Conjecture for Primes $p \equiv 7 \pmod{36}$
查看机构详情
- Paquin Institute of Mathematics（帕昆数学研究所）
- Department of Mathematics, Stanford University（斯坦福大学数学系）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
浏览论文内容
中文总结 AI 辅助
针对素数 $p \equiv 7 \pmod{36}$，研究 Erdős 猜想：每个此类素数可写成 $2^a$ 加无平方因子数。利用分离原理将平方因子问题分解为线性问题，证明 $a \le 3$ 表示者密度为 $1-\rho_4$，并计算验证至 $10^8$。
中文摘要 AI 辅助
Erdős 的一个猜想断言：每个大于 1 的奇数 $n$ 都可以写成 $n = 2^a + m$ 的形式，其中 $a \ge 0$ 是整数，$m$ 是无平方因子正整数。我们研究素数 $p \equiv 7 \pmod{36}$ 的这一猜想。令 $x = (p-1)/6$，候选余数具有如下形式：$p-1 = 6x$，$p-2 = 6x-1$，$p-4 = 3(2x-1)$，$p-8 = 6x-7$，其中素数 $2$ 和 $3$ 被完全控制：所有无平方因子性的障碍都来自素数 $q \ge 5$。对于这样的 $q$，一个分离原理成立——$q^2$ 至多整除这些余数中的一个，因为它们中任意两个之差至多为 $7 < 25$——并且该原理在宽度小于 $20$ 的任何指数窗口内持续成立。分离将四次式 $x(6x-1)(2x-1)(6x-7)$ 的平方因子问题分解为独立的线性问题，我们无条件地推出：该类别中可用 $a \le 3$ 表示的素数具有相对密度 $1 - \rho_4$，其中 $\rho_4 = 1.8637 \times 10^{-5}$ 是一个显式的 Euler 型常数；特别地，该类别中有无穷多个素数不能这样表示。在计算上，我们验证了该猜想对低于 $10^8$ 的该类别所有素数成立，且始终有 $a \le 5$，并展示了低于 $10^8$ 的需要 $a = 5$ 的十一个素数。附录修正了 Hercher 的一个引理中的误差界，其结论不受影响。
英文摘要
A conjecture of Erdős asserts that every odd integer $n > 1$ can be written as $n = 2^a + m$, where $a \ge 0$ is an integer and $m$ is a squarefree positive integer. We study this conjecture for primes $p \equiv 7 \pmod{36}$. Writing $x = (p-1)/6$, the candidate remainders take the shapes $p - 1 = 6x$, $p-2 = 6x-1$, $p-4 = 3(2x-1)$, and $p-8 = 6x-7$, in which the primes $2$ and $3$ are completely controlled: every obstruction to squarefreeness comes from a prime $q \ge 5$. For such $q$ a separation principle applies --- $q^2$ divides at most one of the remainders, since two of them differ by at most $7 < 25$ --- and it persists across any window of exponents of width less than $20$. Separation collapses the square-divisor problem for the quartic $x(6x-1)(2x-1)(6x-7)$ into independent linear problems, and we deduce unconditionally that the primes of the class representable with $a \le 3$ have relative density $1 - ρ_4$, where $ρ_4 = 1.8637 \times 10^{-5}$ is an explicit Euler-type constant; in particular, infinitely many primes of the class are not so representable. Computationally, we verify the conjecture for all primes of the class below $10^8$, always with $a \le 5$, and we exhibit the eleven primes below $10^8$ requiring $a = 5$. An appendix corrects the error bound in a lemma of Hercher, whose conclusions are unaffected.
