发表机构
University of Toronto; Université Angers（多伦多大学; 昂热大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明在曲线（一维子集）上，若半代数方程组存在 $\mathcal C^m$ 解，则存在半代数 $\mathcal C^m$ 解，并简化了 Fefferman-Luli 方法，结果推广到 o-minimal 结构。
AI 中文摘要
考虑在 $\mathbb R^n$ 的子集 $X$ 上的方程组 $A(x)\cdot F(x) = B(x)$，其中 $A(x)$ 和 $B(x)$ 是 $X$ 上的矩阵值和向量值半代数函数，未知量 $F(x)$ 是向量值 $m$-射流场。我们假设存在一个解，它是 $\mathbb R^n$ 上某个 $\mathcal C^m$ 向量值函数 $f$ 在 $X$ 上的 $m$ 阶泰勒多项式场，并询问我们能否找到一个 $\mathcal C^m$ 半代数解 $f$。我们的主要结果是在 $\dim X = 1$ 的情况下给出肯定答案。方法基于 Fefferman 和 Luli 关于 $X \subset \mathbb R^2$ 的文章，次要目标是表明他们的方法在 $\dim X = 1$ 的情况下，或在 $\mathbb R^2$ 中的半代数 Whitney 延拓问题的情况下，可以以更简单的方式应用。我们的结果更一般地适用于在 $\mathbb R$ 的 o-minimal 扩张中可定义的函数。
英文摘要
Consider a system of equations $A(x)\cdot F(x) = B(x)$ on a subset $X$ of $\mathbb R^n$, where $A(x)$ and $B(x)$ are matrix- and vector-valued semialgebraic functions on $X$, and the unknown $F(x)$ is a field of vector-valued $m$-jets. We assume there is a solution which is the field of Taylor polynomials of order $m$ on $X$ of a $\mathcal C^m$ vector-valued function $f$ on $\mathbb R^n$, and ask whether we can find a $\mathcal C^m$ semialgebraic solution $f$. Our main result is a positive answer in the case $\dim X = 1$. The methods are based on an article of Fefferman and Luli for $X \subset \mathbb R^2$, and a secondary goal is to show that their approach applies in a much simpler way in the case $\dim X =1$, or in the case of the semialgebraic Whitney extension problem in $\mathbb R^2$. Our results hold more generally for functions definable in an o-minimal expansion of $\mathbb R$.
