发表机构
Central China Normal University; East China University of Technology（华中师范大学; 东华理工大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文针对Das和Yamini提出的公开问题，利用正缺陷有界核方法等新思想，完整解决了非零剩余类中$kK_3$-free图的边谱极值问题，确定了最大谱半径的精确值并刻画了极值图。
AI 中文摘要
对于固定整数 $k\ge 2$，令 $kK_3$ 表示 $k$ 个三角形的顶点不相交并。Das 和 Yamini 最近的一个固定大小的谱定理断言：对于所有足够大的 $m$，每个大小为 $m$ 的 $kK_3$-free 图 $G$ 满足 $\lambda(G)\le (k-1)+\sqrt{m-k(k-1)}$，且等号成立当且仅当 $(2k-1)\mid m$ 且 $ G\cong \bigl(K_{2k-1}\vee qK_1\bigr)\cup tK_1,\\, q=\frac{m}{2k-1}-(k-1) $ 对于某个 $t\ge 0$。他们明确提出了如下公开问题：设 $k\ge 2$ 固定，$\ell$ 是 $\{1,\dots,2k-2\}$ 中的一个剩余。对于所有足够大的整数 $m\equiv \ell\pmod{2k-1}$，确定 $\max\bigl\{\lambda(G): e(G)=m,\\ G\text{ 是 }kK_3\text{-free}\bigr\}$ 的精确值，并刻画所有达到该最大值的图。在本文中，利用可整除大小的有界核方法的正缺陷版本以及本文中发展的若干新思想，我们给出了上述公开问题的完整解答。
英文摘要
For a fixed integer $k\ge 2$, let $kK_3$ denote the vertex-disjoint union of $k$ triangles. A recent fixed-size spectral theorem of Das and Yamini asserts that, for all sufficiently large $m$, every $kK_3$-free graph $G$ of size $m$ satisfies $λ(G)\le (k-1)+\sqrt{m-k(k-1)},$ and equality holds if and only if $(2k-1)\mid m$ and $ G\cong \bigl(K_{2k-1}\vee qK_1\bigr)\cup tK_1,\, q=\frac{m}{2k-1}-(k-1) $ for some $t\ge 0$. They explicitly posed the open problem: Let $k\ge 2$ be fixed and $\ell$ be a residue in $\{1,\dots,2k-2\}$. For all sufficiently large integers $m\equiv \ell\pmod{2k-1}$, determine the exact value of $\max\bigl\{λ(G): e(G)=m,\ G\text{ is }kK_3\text{-free}\bigr\}, $ and characterize all graphs attaining this maximum. In this paper, using the positive-defect version of the bounded-core method for divisible sizes together with several new ideas developed in this paper, we give a complete solution to the aforementioned open problem.
