r(5,t) 的改进显式与算法下界
Improved Explicit and Algorithmic Lower Bounds for r(5,t)
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中文总结 AI 辅助
通过修改 Bradač 构造和剪枝 Coulter-Matthews 多项式图，得到 r(5,t) 的显式下界 Ω(t^{7/4}) 和算法下界 Ω(t^{20/11-ε})，改进先前 Ω(t^{5/3}) 的结果。
中文摘要 AI 辅助
我们修改了 Bradač 的一个构造（引用 [Bradac26]），利用顶点排序，对每个素数幂 $q$，给出一个显式的 $K_5$ 自由图，其顶点数超过 $q^7$，独立数低于 $600q^4$。这证明了 $r(5,t)=\Omega(t^{7/4})$。此外，通过剪枝由 Coulter 和 Matthews 多项式 $X^{14}$（引用 [CM]）定义的图，我们给出一个确定性多项式时间构造，证明对每个固定的 $\varepsilon>0$，有 $r(5,t)=\Omega(t^{20/11-\varepsilon})$。这些结果改进了 Kostochka、Pudlák 和 Rödl（引用 [KPR]）的构造性下界 $\Omega(t^{5/3})$。
英文摘要
We modify a construction of Bradač \cite{Bradac26} using a vertex ordering to give, for every prime power $q$, an explicit $K_5$ free graph with more than $q^7$ vertices and independence number below $600q^4$. This shows $$r(5,t)=Ω(t^{7/4}).$$ Additionally, pruning a graph defined by the Coulter and Matthews polynomial $X^{14}$ \cite{CM}, we give a deterministic polynomial time construction proving $$r(5,t)=Ω\bigl(t^{20/11-\varepsilon}\bigr)$$ for every fixed $\varepsilon>0$. These results improve the constructive lower bound $Ω(t^{5/3})$ of Kostochka, Pudlák and Rödl \cite{KPR}.
