双曲空间上波动方程径向解的不等式

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设 $\mathbb H^n$ 为 $n$ 维双曲空间，$\Delta_{\mathbb H^n}$ 为 $\mathbb H^n$ 上的 Laplace--Beltrami 算子。令 $u=u(t,\cdot)$ 为波动方程 $\partial^2_{t}u-\big(\Delta_{\mathbb H^n}+\frac{1}{4}(n-1)^2\operatorname{Id}\big)u=0$ 的解，其初始条件为 $u(0,x)=f(x)$ 和 $\partial_tu(0,x)=0$。本文证明：对于径向函数 $f$，$2n/(n-1)\leq p<\infty$，$\gamma<1/p$ 且 $T\geq 0$，存在不依赖于 $f$ 和 $T$ 的常数 $C_p$，使得 $$ \left(\int_T^{T+1}\\|u(t,\cdot)\\|^p_p\mathrm d t\right)^{\frac1p}\leq C_{p,\gamma}\\,\mathrm e^{(n-1)\left(\frac12-\frac1p\right)T}\left\\|(-\Delta_{\mathbb H^n})^{\frac{n-1}2\left(\frac12-\frac1p\right)-\frac\gamma2}f\right\\|_p. $$ 我们还证明了该界中的指数部分 $\mathrm e^{(n-1)(1/2-1/p)T}$ 是最优的。

英文摘要

Let $\mathbb H^n$ be the $n$-dimensional hyperbolic space, and $Δ_{\mathbb H^n}$ be the Laplace--Beltrami operator on $\mathbb H^n$. Let $u=u(t,\cdot)$ be the solution to the wave equation $\partial^2_{t}u-\big(Δ_{\mathbb H^n}+\frac{1}{4}(n-1)^2\operatorname{Id}\big)u=0$ with initial conditions $u(0,x)=f(x)$ and $\partial_tu(0,x)=0$. In this article we show that for a radial function $f$, $2n/(n-1)\leq p<\infty$, $γ<1/p$ and $T\geq 0$, there exists a constant $C_p$ independent of $f$ and $T$ such that $$ \left(\int_T^{T+1}\|u(t,\cdot)\|^p_p\mathrm d t\right)^{\frac1p}\leq C_{p,γ}\,\mathrm e^{(n-1)\left(\frac12-\frac1p\right)T}\left\|(-Δ_{\mathbb H^n})^{\frac{n-1}2\left(\frac12-\frac1p\right)-\frac\gamma2}f\right\|_p. $$ We also show that the exponential part $\mathrm e^{(n-1)(1/2-1/p)T}$ of the bound is optimal.

发表机构

• Sun Yat-Sen (Zhongshan) University（中山大学）
• Macquarie University（麦考瑞大学）

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