由矩阵幂平均间隙生成的加权双参数量子散度

中文摘要 AI 辅助

设 $\mathbb{P}_n$ 为 $n\times n$ 复正定矩阵的锥。对于 $0<\theta<1$ 和 $r\ge0$，令 $M_r^{(\theta)}$ 表示加权矩阵幂平均，在 $r=0$ 处取对数端点，定义为 $$ M_r^{(\theta)}(A,B) = \begin{cases} \big((1-\theta)A^r+\theta B^r\big)^{1/r}, & r>0,\\\\[2mm] \exp\big((1-\theta)\log A+\theta\log B\big), & r=0. \end{cases} $$ 对于 $p>q\ge0$，我们引入 $$ \Phi_{p,q}^{(\theta)}(A,B) = \operatorname{Tr}\big[M_p^{(\theta)}(A,B)-M_q^{(\theta)}(A,B)\big]. $$ 我们证明 $\Phi_{p,q}^{(\theta)}$ 在 Bhatia-Gaubert-Jain 意义下是一个量子散度。此外，对于 $$ 0\le q\le1\le p\le2,\qquad p>q, $$ 它是联合凸的，并满足完全正迹保持映射的数据处理不等式，当输出侧奇异时，采用正则化边界约定来解释。该构造恢复了 Hellinger 型和 Jensen-Shannon 型量作为特例或极限。我们还计算了诱导的局部二次型，并提供了标量和矩阵障碍，表明凸性和数据处理范围不能扩展到所有参数。

英文摘要

Let $\mathbb{P}_n$ be the cone of $n\times n$ complex positive definite matrices. For $0<θ<1$ and $r\ge0$, let $M_r^{(θ)}$ denote the weighted matrix power mean, with the logarithmic endpoint at $r=0$, defined by $$ M_r^{(θ)}(A,B) = \begin{cases} \big((1-θ)A^r+θB^r\big)^{1/r}, & r>0,\\[2mm] \exp\big((1-θ)\log A+θ\log B\big), & r=0. \end{cases} $$ For $p>q\ge0$, we introduce $$ Φ_{p,q}^{(θ)}(A,B) = \operatorname{Tr}\big[M_p^{(θ)}(A,B)-M_q^{(θ)}(A,B)\big]. $$ We prove that $Φ_{p,q}^{(θ)}$ is a quantum divergence in the sense of Bhatia-Gaubert-Jain. Moreover, for $$ 0\le q\le1\le p\le2,\qquad p>q, $$ it is jointly convex and satisfies the data processing inequality for completely positive trace-preserving maps, with the output side interpreted by the regularized boundary convention whenever it is singular. The construction recovers Hellinger-type and Jensen-Shannon-type quantities as special cases or limits. We also compute the induced local quadratic form and provide scalar and matrix obstructions showing that the convexity and data-processing range cannot be extended to all parameters.

发表机构

• Van Lang University（文郎大学）
• Troy University（特洛伊大学）
• Institute of Mathematics, VAST（越南科学院数学研究所）
• University of Transport and Communications（交通大学）
• Vietnam National University Ho Chi Minh City（越南国立大学胡志明市分校）

机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。