绝对 Marchaud 可积性并非属于 Riemann--Liouville $L^p$ 像的必要条件
Absolute Marchaud integrability is not necessary for membership in Riemann--Liouville $L^p$ images
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中文总结 AI 辅助
本文通过构造有界函数和正弦级数，证明绝对 Marchaud 条件并非属于 Riemann--Liouville $L^p$ 像的必要条件，反驳了 Vainikko 猜想中的必要性部分。
中文摘要 AI 辅助
对于严格介于零和一之间的每个分数阶以及每个有限区间，存在一个有界表示函数，其 Riemann--Liouville 分数阶积分满足 Vainikko 提出的加权端点条件，但在几乎处处不满足绝对 Marchaud 条件。因此，一个有界例子同时反驳了 Vainikko 猜想特征化中必要性蕴含关系，且对每个严格大于一的指数（包括本质有界端点）均成立。另一个不同的正弦级数构造，在每个严格介于一和无穷之间的指数处，给出一个表示函数在每个内点处均不满足该条件。对于有界例子，符号反转对每个大于或等于一的有限指数仍然有效。Vainikko 猜想中的逆蕴含关系在此未作判定。
英文摘要
For every fractional order strictly between zero and one and every finite interval, there is a bounded representing function whose Riemann--Liouville fractional integral satisfies the weighted endpoint condition proposed by Vainikko but fails the absolute Marchaud condition almost everywhere. One bounded example therefore disproves the necessity implication in Vainikko's conjectured characterization simultaneously for every exponent strictly larger than one, including the essentially bounded endpoint. A different sine-series construction gives, at each exponent strictly between one and infinity, failure at every interior point for one representative. For the bounded example, signed inversion remains valid for every finite exponent greater than or equal to one. The converse implication in Vainikko's conjecture is not decided here.
发表机构
- Laboratory of Mathematics and Applications, Abdelmalek Essaadi University（阿卜杜勒马利克·萨阿迪大学数学与应用实验室）
- FST, 90100 Tangier, Morocco（丹吉尔科学技术学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
