发表机构
Farmingdale State College; University of Delaware; Ben-Gurion University of the Negev（法明代尔州立学院; 特拉华大学; 内盖夫本-古里安大学）
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本文证明了素数域上单项式有向图同构的猜想判据，并在扩展域上构造了无限族反例。
AI 中文摘要
对于任意含有 $q$ 个元素的伽罗瓦域 $\mathbb{F}_q$ 以及任意正整数 $m$ 和 $n$，有向图 $D(q;m,n)$ 的顶点集为 $\mathbb{F}_q\times\mathbb{F}_q$，并且当且仅当 $x_2+y_2=x_1^my_1^n$ 时，存在从顶点 $(x_1,x_2)$ 到顶点 $(y_1,y_2)$ 的弧。早期工作中猜想：两个有向图 $D(q;m_1,n_1)$ 和 $D(q;m_2,n_2)$ 同构当且仅当存在一个与 $q-1$ 互素的整数 $k$，使得 $m_2\equiv km_1$ 且 $n_2 \equiv kn_1$，其中两个同余式均模 $q-1$。我们在素数域上证明了这一猜想，并在扩展域上构造了一个无限族的反例。
英文摘要
For any Galois field $\mathbb{F}_q$ with $q$ elements and any positive integers $m$ and $n$, the directed graph $D(q;m,n)$ has vertex set $\mathbb{F}_q\times\mathbb{F}_q$, and there is an arc from vertex $(x_1,x_2)$ to vertex $(y_1,y_2)$ if and only if $x_2+y_2=x_1^my_1^n$. It was conjectured in earlier work that two digraphs $D(q;m_1,n_1)$ and $D(q;m_2,n_2)$ are isomorphic if and only if there exists an integer $k$ relatively prime to $q-1$ such that $m_2\equiv km_1$ and $n_2 \equiv kn_1$, where both congruences are modulo $q-1$. We prove this conjecture over prime fields and construct an infinite family of counterexamples over extension fields.
