发表机构
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文给出凸体各向同性舍入的近似最优预言界，提出 $\Ot(n^3)$ 查询算法并证明匹配下界，同时反驳了椭球增长猜想。
AI 中文摘要
我们给出了将凸体舍入到近各向同性位置的最优界（直到多对数因子）。一个满足 $B(0,r)\subseteq K\subseteq B(0,R)$ 的凸体 $K\subseteq\R^n$ 可以使用 $\Ot(n^3)$ 次成员查询进行舍入；该上界可扩展到对数凹分布。我们证明了匹配的 $\Omegat(n^3)$ 下界，即使当 $R/r=n^{O(1)}$ 时也成立。关键引理指出，如果 $B(0,1)\subseteq K$ 且 $\Cov(\Unif(K))\preceq\kappa I_n$（其中 $\kappa\ge1$），那么从初始密度受常数倍均匀密度约束的分布进行近似均匀采样，期望成员查询次数为 $\Ot(n^2\sqrt\kappa)$。我们通过使用 Eberle 和 Lörler 的分析来模拟反射动力学来证明这一点。将该采样器与 Jia、Laddha、Lee 和 Vempala 用于舍入良好形状凸体的思想相结合，得到了我们的 $\Ot(n^3)$ 查询舍入算法。我们还给出了一个反例，反驳了先前关于此主题论文中的椭球增长猜想。
英文摘要
We give optimal bounds, up to polylogarithmic factors, for rounding convex bodies to near-isotropic position. A convex body $B(0,r)\subseteq K\subseteq B(0,R)$ in $\R^n$ can be rounded using $\Ot(n^3)$ membership queries; the upper bound extends to logconcave distributions. We prove a matching $\Omegat(n^3)$ lower bound, even when $R/r=n^{O(1)}$. The key lemma states that if $B(0,1)\subseteq K$ and $\Cov(\Unif(K))\preceqκI_n$, with $κ\ge1$, then approximate uniform sampling from an initial density bounded by a constant times the uniform density uses $\Ot(n^2\sqrtκ)$ expected membership queries. We prove this by simulating reflected kinetic dynamics using the analysis of Eberle and Lörler~\cite{EL26:journal}. Combining this sampler with the ideas of Jia, Laddha, Lee, and Vempala~\cite{JLLV26:journal} for rounding well-rounded bodies yields our $\Ot(n^3)$ query rounding algorithm. We also give a counterexample to an ellipsoid-growth conjecture from previous papers on this topic.
