发表机构
Research Organization of Information and Systems（信息・システム研究機構）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文提出一种几何方法，通过内切于单位超立方体的椭球，利用初等构造直接读取多重相关系数、标准化回归系数和偏相关系数，并解释符号反转与系数越界现象。
AI 中文摘要
考虑响应变量 $Y$ 对解释变量 $X_1,\dots,X_p$ 的线性回归，其联合相关矩阵为正定矩阵。设 $\mathbf{R}$ 为解释变量的相关矩阵，$\mathbf{r}$ 为它们与 $Y$ 的相关性向量。椭球 $E=\{\mathbf{x}: \mathbf{x}^{\top}\mathbf{R}^{-1}\mathbf{x}=1\}$ 内切于立方体 $[-1,1]^p$，并在 $T_j$（$\mathbf{R}$ 的第 $j$ 列）处与面 $x_j=1$ 相切。点 $P=\mathbf{r}$ 位于 $E$ 内部，通过初等几何构造可从该图中读出三类回归量。多重相关系数为 $|OP|/|OP'|$，其中 $O$ 为原点，$P'$ 为从 $O$ 出发经过 $P$ 的射线与 $E$ 的交点（当 $P\ne O$ 时）。标准化回归系数为 $P$ 在基 $T_1,\dots,T_p$ 下的坐标。给定其他解释变量时，$X_i$ 与 $Y$ 的偏相关系数为 $P$ 在 $E$ 上过 $P$ 且平行于 $x_i$ 轴的弦上的位置，按从 $-1$ 到 $1$ 的线性刻度随 $x_i$ 增加；此外，过原点的平行弦的半长度为 $1/\sqrt{\mathrm{VIF}_i}$。示例说明了符号反转以及标准化系数超出区间 $[-1,1]$ 的情况。
英文摘要
Consider the linear regression of a response $Y$ on explanatory variables $X_1,\dots,X_p$ with a positive definite joint correlation matrix. Let $\mathbf{R}$ be the correlation matrix of the explanatory variables and $\mathbf{r}$ the vector of their correlations with $Y$. The ellipsoid $E=\{\mathbf{x} : \mathbf{x}^{\top}\mathbf{R}^{-1}\mathbf{x}=1\}$ is inscribed in the cube $[-1,1]^p$ and touches the face $x_j=1$ at $T_j$, the $j$th column of $\mathbf{R}$. The point $P=\mathbf{r}$ lies inside $E$, and three kinds of regression quantities are read off this diagram by elementary geometric constructions. The multiple correlation is $|OP|/|OP'|$, where $O$ is the origin and $P'$ is the point where the ray from $O$ through $P$ meets $E$ (for $P\ne O$). The standardized regression coefficients are the coordinates of $P$ in the basis $T_1,\dots,T_p$. The partial correlation between $X_i$ and $Y$ given the other explanatory variables is the position of $P$ on the chord of $E$ through $P$ parallel to the $x_i$-axis, on a linear scale from $-1$ to $1$ increasing with $x_i$; furthermore, the parallel chord through the origin has half-length $1/\sqrt{\mathrm{VIF}_i}$. Examples illustrate sign reversal and standardized coefficients outside the interval $[-1,1]$.
Comments18 pages, 4 figures. Ancillary files include data and R code
