发表机构
School of Mathematical Sciences, China West Normal University（西华师范大学数学科学学院）
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本文证明乘法逆函数零和子空间计数渐近公式，并借助低维情形与对称性证实Carlet猜想。
AI 中文摘要
设 $q=2^n$ 且 $n\ge6$，令 $\mathbb{F}_q$ 为含 $q$ 个元素的有限域。对于 $\mathbb{F}_q$ 的子空间 $E$，定义 \\[ S(E)=\sum_{x\in E\setminus\{0\}}x^{-1}.\\] 设 $N_{n,k}$ 表示满足 $S(E)=0$ 的 $k$ 维 $\mathbb{F}_2$-子空间 $E$ 的个数。我们证明，若 $k\ge3$ 且 $n\ge2k+1$，则 \\[ \left|\frac{2^nN_{n,k}}{\genfrac{[}{]}{0pt}{}{n}{k}_{2}}-1\right|<2^{r^2+r}2^{n(1-r/2)},\\] 其中 $r=\lfloor\frac{k-1}{2}\rfloor$，而 $\genfrac{[}{]}{0pt}{}{n}{k}_{2}$ 是高斯二项式系数。特别地，当 $n\to\infty$ 时，\\[ N_{n,k}\sim2^{-n}\genfrac{[}{]}{0pt}{}{n}{k}_{2}\\] 对 $n/3<k\le(n-1)/2$ 一致成立。结合已知的低维情形、维度 $k$ 与 $n-k$ 之间的对称性，以及初等的中等维子域构造，这证明了 Carlet 的一个猜想：对于每个 $3\le k\le n-3$，存在 $k$ 维 $\mathbb{F}_2$-子空间 $E$ 使得 $S(E)=0$。
英文摘要
Let $q=2^n$ with $n\ge6$, and let $\mathbb{F}_q$ be the finite field with $q$ elements. For a subspace $E$ of $\mathbb{F}_q$, define \[ S(E)=\sum_{x\in E\setminus\{0\}}x^{-1}.\] Let $N_{n,k}$ denote the number of $k$-dimensional $\mathbb{F}_2$-subspaces $E$ for which $S(E)=0$. We prove that, if $k\ge3$ and $n\ge2k+1$, then \[ \left|\frac{2^nN_{n,k}}{\genfrac{[}{]}{0pt}{}{n}{k}_{2}}-1\right|<2^{r^2+r}2^{n(1-r/2)},\] where $r=\lfloor\frac{k-1}{2}\rfloor$, and $\genfrac{[}{]}{0pt}{}{n}{k}_{2}$ is the Gaussian binomial coefficient. In particular, \[ N_{n,k}\sim2^{-n}\genfrac{[}{]}{0pt}{}{n}{k}_{2}\quad (n\to\infty)\] uniformly for $n/3<k\le(n-1)/2$. Combined with the known low-dimensional cases and the symmetry between dimensions $k$ and $n-k$, and the elementary middle-dimensional subfield construction, this proves a conjecture of Carlet: for every $3\le k\le n-3$, there exists a $k$-dimensional $\mathbb{F}_2$-subspace $E$ such that $S(E)=0$.
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