发表机构
Indian Institute of Science Education and Research-Pune（印度科学教育研究所-浦那）
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本文研究非局部散度型算子的弱解，否定回答了一个开放问题，并在更强条件下证明了强制性和内部Hölder正则性。
AI 中文摘要
我们考虑如下类型的非局部散度型算子：PV∫ℝⁿ(u(x)−u(y))K(x,y)dy=0在B₂中，其中核K是对称的（K(x,y)=K(y,x)）。首先，我们证明存在一个满足文献[FRRO24]中开放问题2.1条件的核，使得该问题允许一个有界不连续弱解，从而对该问题给出否定回答。然后，我们施加文献[CS20,IS20]中提出的更强的单侧下界，以及K在环域上的Lᵖ界，并证明弱解的强制性估计和内部Hölder正则性。特别地，这建立了文献[CS20,IS20]中的强制性猜想在附加Lᵖ假设（p>1）下的成立。
英文摘要
We consider nonlocal divergence-form operators of the type $$PV\int_{\mathbb{R}^n}(u(x)-u(y))K(x, y) dy=0\quad \text{in} \; B_2,$$ where the kernel $K$ is symmetric ($K(x, y) = K(y, x)$). We first show that there exists a kernel satisfying the conditions of \cite[Open Question 2.1]{FRRO24} for which this problem admits a bounded discontinuous weak solution, answering that question negatively. We then impose the stronger one-sided lower bound suggested in \cite{CS20,IS20}, together with an $L^p$ bound of $K$ over annuli, and prove a coercivity estimate and interior Hölder regularity of weak solutions. In particular, this establishes the coercivity conjecture of \cite{CS20,IS20} under the additional $L^p$ hypothesis for $p>1$.
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