阿贝尔扩张上多项式模空间的Bogomolov性质
A Bogomolov property for moduli spaces of polynomials over abelian extensions
- School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）
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AI总结：
本文证明了在阿贝尔扩张上，多项式模空间中临界高度小于某正数的点仅有有限多个，即后临界有限点有限，方法涉及通用临界除子族、adelic线丛、交织关系、局部分歧估计及Ji–Song–Xie对应方法。
AI中文摘要：
设$d\geq2$为整数，令$\operatorname{MPoly}^d$为$d$次多项式的模空间。对于每个数域$K$，我们证明存在$\epsilon_{K,d}>0$，使得集合\\[\left\lbrace\alpha\in\operatorname{MPoly}^d(K^{\mathrm{ab}})\colon h_{\mathrm{crit}}(\alpha)<\epsilon_{K,d}\right\rbrace=\left\lbrace\alpha\in\operatorname{MPoly}^d(K^{\mathrm{ab}})\colon h_{\mathrm{crit}}(\alpha)=0\right\rbrace\\]是有限的，其中$h_{\mathrm{crit}}$为临界高度。特别地，$\operatorname{MPoly}^d$中仅有有限多个$K^{\mathrm{ab}}$-有理点是后临界有限的。证明使用了通用临界除子族、具有显式轨道高度公式的nef adelic线丛、交织关系、局部分歧估计以及Ji–Song–Xie的对应方法。
英文摘要：
Let $d\geq2$ be an integer, and let $\operatorname{MPoly}^d$ be the moduli space of degree-$d$ polynomials. For every number field $K$, we prove that there exists $ε_{K,d}>0$ such that \[ \left\lbraceα\in\operatorname{MPoly}^d(K^{\mathrm{ab}})\colon h_{\mathrm{crit}}(α)<ε_{K,d}\right\rbrace=\left\lbraceα\in\operatorname{MPoly}^d(K^{\mathrm{ab}})\colon h_{\mathrm{crit}}(α)=0\right\rbrace \] is finite, where $h_{\mathrm{crit}}$ is the critical height. In particular, only finitely many $K^{\mathrm{ab}}$-rational points of $\operatorname{MPoly}^d$ are postcritically finite. The proof uses a universal critical-divisor family, a nef adelic line bundle with an explicit orbit-height formula, the intertwined relation, local ramification estimates, and the correspondence method of Ji--Song--Xie.
