测地轨道伪黎曼 $H$ 型幂零流形
Geodesic orbit pseudo-Riemannian $H$-type nilmanifolds
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- Osaka Metropolitan University（大阪公立大学）
- University of Bergen（卑尔根大学）
- Southern Mathematical Institute of VSC RAS（北高加索联邦科学院南方数学研究所）
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中文总结 AI 辅助
本文刻画了伪 $H$ 型幂零李群 $N_{r,s}$ 的测地轨道性质，证明仅 $(0,1)$、$(1,2)$ 及 $N_{3,4}$ 的最小模情形为 GO，并显式构造了后者的测地线生成群。
中文摘要 AI 辅助
一个伪黎曼流形被称为测地轨道（GO）流形，如果每条测地线都是一个单参数等距群的轨道。对于黎曼 $H$ 型群，A. Kaplan 和 C. Riehm 已根据中心的维数和底层 Clifford 模的结构完全刻画了 GO 性质。我们解决了伪 $H$ 型群 $N_{r,s}$ 的对应问题，即其李代数 $\n_{r,s}=\mathfrak z\oplus\mathfrak v$ 由 Clifford 代数 $\mathrm{Cl}(\mathbb R^{r,s})$ 的容许模 $\mathfrak v$ 构造的二步幂零李群，并赋予左不变度量，该度量在中心上的限制是不定的（$s\ge 1$）。我们证明了 $N_{r,s}$ 是自然约化的当且仅当 $(r,s)\in\{(0,1),(1,2)\}$，此时对于每个容许模它都是 GO 的。我们还证明了 $N_{3,4}$ 是 GO 的，但不是自然约化的，当且仅当 $\mathfrak v$ 是最小容许模；在所有其余情况下，$N_{r,s}$ 不是 GO 的。因此，与黎曼情形（其中七维中心在维度为 8、16 和 24 的同型模上允许 GO 度量）相比，例外伪黎曼情形仅在最小可能模上是 GO 的。对于 $N_{3,4}(\mathfrak v_{\min})$，我们显式构造了生成所有测地线（包括零测地线）的单参数等距群，并描述了其生成元的仿射族。
英文摘要
A pseudo-Riemannian manifold is called geodesic orbit (GO) if every geodesic is an orbit of a one-parameter group of isometries. For Riemannian $H$-type groups, the GO property was completely characterized by A. Kaplan and C. Riehm in terms of the dimension of the centre and the structure of the underlying Clifford module. We solve the corresponding problem for pseudo $H$-type groups $N_{r,s}$, that is, 2-step nilpotent Lie groups whose Lie algebra $\mathfrak n_{r,s}=\mathfrak z\oplus\mathfrak v$ is built from an admissible module $\mathfrak v$ of the Clifford algebra $\mathrm{Cl}(\mathbb R^{r,s})$, endowed with the left-invariant metric whose restriction to the centre is indefinite ($s\ge 1$). We prove that $N_{r,s}$ is naturally reductive if and only if $(r,s)\in\{(0,1),(1,2)\}$, and then it is GO for every admissible module. We also prove that $N_{3,4}$ is GO, but not naturally reductive, exactly when $\mathfrak v$ is a minimal admissible module, and that in all remaining cases $N_{r,s}$ is not GO. Thus, in contrast with the Riemannian situation, where a seven-dimensional centre admits GO metrics on isotypic modules of dimensions 8, 16 and 24, the exceptional pseudo-Riemannian case is GO only for the smallest possible module. For $N_{3,4}(\mathfrak v_{\min})$ we explicitly construct the one-parameter isometry groups generating all geodesics, including the null ones, and describe the affine family of their generators.
