AI 中文总结
本文为 $\mathrm{C}^\ast$-代数引入新的拓扑阿贝尔群 $\mathrm{K}_1^\Delta$，能区分等变KK理论和迹无法区分的群作用，并构成总稳定不变量，用于分类同态至近似酉等价。
AI 中文摘要
我们为每个 $\mathrm{C}^\ast$-代数 $A$ 引入一个拓扑阿贝尔群 $\mathrm{K}_1^\Delta(A)$，它关于 $A$ 是函子性的，并且在稳定化下不变。$\mathrm{K}_1^\Delta$ 能够区分那些用等变 (K)K-理论和迹无法区分的群作用——我们通过无理旋转代数来说明这一点，具体展示 $\mathbb Z$ 的强外作用，这些作用通过 $\mathrm{K}_1^\Delta$ 不是（稳定）共轭的。此外，这些作用在 $\mathrm{KK}^{\mathbb Z}$ 中以及 Hausdorff 化的酉代数 $\mathrm{K}_1$ 群 $\overline{\mathrm{K}}_1^{\mathrm{alg}}(A)$ 上都是平凡的。$\mathrm{K}_1^\Delta(A)$ 的 Hausdorff 化 $\overline{\mathrm{K}}_1^{\Delta}(A)$ 构成了我们同样引入的总稳定不变量 $\mathrm{\underline{K}T}_{\mathrm{s}}(A)$ 的最后一部分。我们证明 $\mathrm{\underline{K}T}_{\mathrm{s}}$ 在包含非零投影的某些稳定 $\mathrm{C}^\ast$-代数之间，对 $*$-同态进行分类，直至近似酉等价。即使在单的情形下，$\mathrm{K}_1^\Delta(A)$ 也是新的，但在对 $A$ 的进一步假设下，它恢复了酉代数 $\mathrm{K}_1$ 群 $\mathrm{K}_1^{\mathrm{alg}}(A)$，而 Hausdorff 化 $\overline{\mathrm{K}}_1^{\Delta}(A)$ 和 $\overline{\mathrm{K}}_1^{\mathrm{alg}}(A)$ 对每个单的 $A$ 都一致。
英文摘要
We introduce a topological abelian group $\mathrm{K}_1^Δ(A)$ for every $\mathrm{C}^\ast$-algebra $A$, which is functorial in $A$ and invariant under stabilisations. $\mathrm{K}_1^Δ$ can distinguish group actions indistinguishable by equivariant (K)K-theory and traces --- we illustrate this on the irrational rotation algebra by exhibiting strongly outer actions of $\mathbb Z$ which, via $\mathrm{K}_1^Δ$, are not (stably) cocycle conjugate. These actions are moreover trivial in $\mathrm{KK}^{\mathbb Z}$ and on the Hausdorffised unitary algebraic $\mathrm{K}_1$ group $\overline{\mathrm{K}}_1^{\mathrm{alg}}(A)$. The Hausdorffisation $\overline{\mathrm{K}}_1^Δ(A)$ of $\mathrm{K}_1^Δ(A)$ forms the final part of the total stable invariant $\mathrm{\underline{K}T}_{\mathrm{s}}(A)$, which we also introduce. We prove that $\mathrm{\underline{K}T}_{\mathrm{s}}$ classifies $*$-homomorphisms up to approximate unitary equivalence between certain stable $\mathrm{C}^\ast$-algebras which contain a non-zero projection. $\mathrm{K}_1^Δ(A)$ is new even in the unital setting, but under further assumptions on $A$ recovers the unitary algebraic $\mathrm{K}_1$ group $\mathrm{K}_1^{\mathrm{alg}}(A)$, whereas the Hausdorffisations $\overline{\mathrm{K}}_1^Δ(A)$ and $\overline{\mathrm{K}}_1^{\mathrm{alg}}(A)$ agree for every unital $A$.
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