有限笛卡尔集上具有受限支撑和最大零点的多项式

中文摘要 AI 辅助

给定一个有限笛卡尔集 $S=X \times Y$ 和一个递减的单项式集合 $\mathcal M$，我们称 $\mathcal M$ 在 $S$ 上的极值多项式为那些在 $S$ 中具有最大零点个数且其支撑属于 $\mathcal M$ 的多项式。坐标分解给出了一族极值多项式；我们称其为典型极值多项式。如果 $\max(\mathcal M)$（关于整除关系取最大）是单个单项式，则所有极值多项式都是典型的。如果 $|\max(\mathcal M)|=2$，要么所有极值多项式都是典型的，要么问题归结为 $\max(\mathcal M)=\{x^{d_x},y^{d_y}\}$ 的情形。在后一种情形下，我们证明非典型极值多项式的存在性取决于能否找到其初等对称函数一致的子集族。这个条件比经典的 Prouhet--Tarry--Escott 问题更为严格，后者要求两个集合的初等对称函数一致。我们确定了三元组 $(X, Y, h)$ 的数量，其中 $h$ 是二次非典型极值多项式。我们将极值多项式应用于编码理论中的最小重量码字。

英文摘要

Given a finite Cartesian set $S=X \times Y$ and a decreasing set of monomials $\mathcal M$, we call extremal polynomials for $\mathcal M$ over $S$ those that have the maximum number of zeros in $S$ and whose support belongs to $\mathcal M$. Coordinate factorizations give a family of extremal polynomials; we call them canonical. If $\max(\mathcal M)$, taken with respect to divisibility, is a single monomial, all extremal polynomials are canonical. If $|\max(\mathcal M)|=2$, either all extremal polynomials are canonical, or the problem reduces to the case where $\max(\mathcal M)=\{x^{d_x},y^{d_y}\}$. In the latter case, we prove that the existence of noncanonical extremal polynomials depends on finding families of subsets whose elementary symmetric functions agree. This condition is more restrictive than the classical Prouhet--Tarry--Escott problem, which asks for two sets whose elementary symmetric functions agree. We determine the number of triples $(X, Y, h)$, where $h$ is a quadratic noncanonical extremal polynomial. We apply extremal polynomials to coding theory via minimum-weight codewords.

发表机构

• Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）
• Université de Bordeaux（波尔多大学）
• Universidad de La Laguna（拉各纳大学）
• Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）

机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。