非径向解在$\dot{H}^{1/2}$临界和超临界非线性下四阶薛定谔方程的散射

中文摘要 AI 辅助

我们考虑聚焦非线性四阶薛定谔方程 \begin{equation*} i \partial_t u + \mu \Delta u - \Delta^2 u = - |u|^{p-1} u, \\ \\ \\ (t,x) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^d, \end{equation*} 其中 $\mu \ge 0$。在 $d \ge 2$ 且 $1 + 8/d < p < 1 + 8/(d-4)_{+}$ 的情况下，Guo (2016) 和 Dinh (2021) 证明了低于基态的径向解的散射。在本文中，我们证明了在 $d \ge 2$ 且 $1 + 8/(d-1) \le p < 1 + 8/(d-4)_{+}$ 的情况下，低于基态的非径向解的散射。我们的证明基于 Kenig--Merle (2006) 的集中紧性论证。为了克服非径向情况下的困难，我们使用了与动量向量正交方向上的维里恒等式。条件 $p \ge 1 + 8/(d-1)$ 是为了证明该维里恒等式中泛函的正性。

英文摘要

We consider the focusing nonlinear fourth-order Schrödinger equation \begin{equation*} i \partial_t u + μΔu - Δ^2 u = - |u|^{p-1} u, \ \ \ (t,x) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^d, \end{equation*} where $μ\ge 0$. The scattering of radial solutions below the ground state is shown by Guo (2016) and Dinh (2021) in the case where $d \ge 2$ and $1 + 8/d < p < 1 + 8/(d-4)_{+}$. In the present paper, we prove the scattering of non-radial solutions below the ground state in the case where $d \ge 2$ and $1 + 8/(d-1) \le p < 1 + 8/(d-4)_{+}$. Our proof is based on the concentration compactness argument by Kenig--Merle (2006). To overcome difficulties in the non-radial case, we use the virial identity in the direction orthogonal to the momentum vector. The condition $p \ge 1 + 8/(d-1)$ is required to show the positivity of the functional in that virial identity.

发表机构

• The University of Osaka（大阪大学）
• Waseda University（早稻田大学）
• ARISE Analytics Inc.（ARISE Analytics 株式会社）

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