发表机构
Gaoling School of Artificial Intelligence, Renmin University of China（高瓴人工智能学院，中国人民大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文通过维度放大构造，证明九维网格上单调映射不动点查询需要 Ω((log N)^3) 次，且任意固定维度下无有限对数指数下界。
AI 中文摘要
我们证明了在九维网格 $[N]^9$ 上寻找单调映射的不动点需要 $\Omega((\log N)^3)$ 次确定性查询，即使不动点唯一且每次查询返回整个函数值。该证明给出了一种构造，将维度从 $d$ 提升到 $4d+1$，保持唯一性，并为下界增加一个对数因子。迭代后，在维度 $(7\cdot4^r-1)/3$ 上，对于每个固定的非负整数 $r$，查询复杂度为 $\Omega((\log N)^{r+2})$，其中隐式常数可能依赖于 $r$。因此，没有任何有限的对数指数能够限定所有固定维度下的查询复杂度。
英文摘要
We prove that finding a fixed point of a monotone map on the nine-dimensional grid $[N]^9$ requires $Ω((\log N)^3)$ deterministic queries, even when the fixed point is unique and each query returns the entire function value. The proof gives a construction that raises the dimension from $d$ to $4d+1$, preserves uniqueness, and adds a logarithmic factor to the lower bound. Iteration gives $Ω((\log N)^{r+2})$ queries in dimension $(7\cdot4^r-1)/3$, for every fixed nonnegative integer $r$, with an implicit constant that may depend on $r$. Consequently, no finite logarithmic exponent bounds the query complexity in all fixed dimensions.
Comments22 pages
