关于 $x^{d_{r}} + x^{d_{r-1}} + \cdots + x^{d_{2}} + x^{d_{1}} + p$ 的因式分解及 C. Nicol 的一个猜想
On the factorization of $x^{d_{r}} + x^{d_{r-1}} + \cdots + x^{d_{2}} + x^{d_{1}} + p$ and a conjecture of C. Nicol
- University of South Carolina（南卡罗来纳大学）
- University of North Carolina Wilmington（北卡罗来纳大学威尔明顿分校）
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AI总结：
本文证明形如 $x^{d_{r}} + \cdots + x^{d_{1}} + p$ 的多项式去掉互反因子后不可约，并据此验证了 C. Nicol 关于两个分圆多项式之和与乘积加一的因式分解猜想。
AI中文摘要：
对于任意素数 $p$ 和任意正整数 $r$ 及 $d_{1}, \ldots, d_{r}$（满足 $d_{r} > \cdots > d_{1}$），我们证明 $x^{d_{r}} + x^{d_{r-1}} + \cdots + x^{d_{2}} + x^{d_{1}} + p$ 在去掉其所有首一不可约互反因子后是不可约的。作为推论，我们建立了与 Charles Nicol 猜想相关的一系列结果，该猜想声称在有理数域上，两个分圆多项式 $\Phi_{n}(x) + \Phi_{m}(x)$ 是分圆多项式的乘积乘以 $2$ 或一个不可约多项式，其中 $n$ 和 $m$ 是大于 $1$ 的整数。我们还为 $\Phi_{n}(x)\Phi_{m}(x)+1$ 建立了类似的结果。
英文摘要：
For an arbitrary prime $p$ and arbitrary positive integers $r$ and $d_{1}, \ldots, d_{r}$ with $d_{r} > \cdots > d_{1}$, we show that $x^{d_{r}} + x^{d_{r-1}} + \cdots + x^{d_{2}} + x^{d_{1}} + p$ removed of all of its monic irreducible reciprocal factors is irreducible. As a consequence, we establish a number of results related to a conjecture of Charles Nicol that, over the rationals, the sum of two cyclotomic polynomials $Φ_{n}(x) + Φ_{m}(x)$ is a product of cyclotomic polynomials times either $2$ or an irreducible polynomial, where $n$ and $m$ are integers exceeding $1$. We also establish similar results for $Φ_{n}(x)Φ_{m}(x)+1$.
