发表机构
Faculty of Mathematics, University of Rijeka（里耶卡大学数学系）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究使 ab+1、ac+1、bc+1、abc+1 均为平方的多项式三元组，证明二次情形在实数域唯一存在且有理数域不存在，并给出次数模式限制与等次数障碍。
AI 中文摘要
我们研究在 $\mathbb{R}$、$\mathbb{Q}$ 或 $\mathbb{Z}$ 上的三个不同的非常数多项式 $a,b,c$ 的三元组，使得 $ab+1$、$ac+1$、$bc+1$、$abc+1$ 都是多项式平方。我们证明，在置换和公共可逆仿射变量变换的意义下，在 $\mathbb{R}[X]$ 中恰好存在一个这样的二次多项式三元组，即由 Jurasić 最近构造产生的那个，而在 $\mathbb{Q}[X]$ 或 $\mathbb{Z}[X]$ 中不存在这样的三元组。此外，对于在 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{Q}$ 上的任意非常数项，我们证明次数模式 $(2n,2m,2l)$（其中 $1\le n\le m\le l$）满足要么 $l=m$，要么 $l>n+m$。对于 $l=m$ 的情形，我们推导出因子分解系统和可约性限制。在 $\mathbb{Q}$ 上的等次数情形中，我们进一步证明每一项至少有两个不同的不可约因子。作为应用，我们证明在 $\mathbb{Q}[X]$ 中的一个自然正则参数化多项式丢番图三元组族中，当参数为常数或第一项为平方时，第四个表达式 $abc+1$ 永远不会是平方。
英文摘要
We study triples of distinct nonconstant polynomials $a,b,c$ over $\mathbb{R}$, $\mathbb{Q}$ or $\mathbb{Z}$ for which $$ ab+1,\qquad ac+1,\qquad bc+1,\qquad abc+1 $$ are all polynomial squares. We show that, up to permutation and a common invertible affine change of variable, there is exactly one such triple of quadratic polynomials in $\mathbb{R}[X]$, the one arising from a recent construction of Jurasić, and that none exists in $\mathbb{Q}[X]$ or $\mathbb{Z}[X]$. Moreover, for arbitrary nonconstant entries over $\mathbb{R}$ or $\mathbb{Q}$, we prove that the degree pattern $(2n,2m,2l)$ with $1\le n\le m\le l$ satisfies either $l=m$ or $l>n+m$. For the case $l=m$, we derive factorization systems and reducibility restrictions. In the equal-degree case over $\mathbb{Q}$, we further show that every entry has at least two distinct irreducible factors. As an application, we show that in a natural regular parametrized family of polynomial Diophantine triples in $\mathbb{Q}[X]$ the fourth expression $abc+1$ is never a square when the parameter is constant or the first entry is a square.
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