一个Vinogradov子系统的主猜想
The main conjecture for a Vinogradov subsystem
- Purdue University（普渡大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
本文证明了超越Vinogradov型指数和的新族的主猜想，通过嵌套高效同余法给出积分估计，并推广到数域和函数域。
AI中文摘要：
当$k\ge 2$且$s>0$时，我们证明对每个$\varepsilon>0$，有\\[ \int_{[0,1)^{k-1}}\biggl| \sum_{1\le x\le X}e(\alpha_2x^2+\ldots +\alpha_k x^k)\biggr|^{2s}\\,{\rm d}\boldsymbol \alpha \ll X^{s+\varepsilon}+X^{2s-(k^2+k-2)/2}, \\] 这证实了超越Vinogradov（平移-伸缩不变）型指数和的一个新族的主猜想。我们的方法基于作者最近采用嵌套高效同余法的工作。因此，我们的结果的类似版本在数域和函数域中也成立。
英文摘要：
When $k\ge 2$ and $s>0$, we establish that for each $\varepsilon>0$, one has \[ \int_{[0,1)^{k-1}}\biggl| \sum_{1\le x\le X}e(α_2x^2+\ldots +α_k x^k)\biggr|^{2s}\,{\rm d}\boldsymbol α\ll X^{s+\varepsilon}+X^{2s-(k^2+k-2)/2}, \] confirming the main conjecture for a new family of exponential sums beyond those of Vinogradov (translation-dilation invariant) type. Our methods are based on very recent work of the author employing the nested efficient congruencing method. Consequently, analogues of our results hold also in the setting of number fields and function fields.
