$F_4(\mathbb{C})$ 在对合处的特征标
Characters of $F_4(\mathbb{C})$ at involutions
AI总结：
本文确定了例外群 $F_4(\mathbb{C})$ 的所有不可约特征标在对合处的取值，给出了在 $t$ 处为零的充要条件及非零时的精确公式，并与主对合结果比较，最终完整刻画了所有对合处的特征标。
AI中文摘要：
例外群 $F_4(\mathbb{C})$ 有两类对合共轭类：一个对合 $t$，其中心化子为 $\mathrm{Spin}(9,\mathbb{C})$；以及主对合，其中心化子为 $(\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})\times\mathrm{Sp}(6,\mathbb{C}))/\{\pm1\}$。我们确定了 $F_4(\mathbb{C})$ 的所有不可约特征标在 $t$ 处的值。对于最高权为 $a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3+d\omega_4$（采用 Bourbaki 记号）的不可约表示，我们证明特征标在 $t$ 处为零当且仅当 $c$ 和 $d$ 均为奇数。在所有其他情形下，其值为 $\pm 2^{-7}$ 乘以 $\mathrm{Spin}(9,\mathbb{C})$ 的一个显式不可约表示的维数。证明过程是在 Weyl 特征标公式中取极限，并结合 $W(F_4)$ 中 $W(B_4)$ 的三个陪集上的分解，以及 $W(F_4)=W(D_4)\rtimes S_3$ 在权格模 $D_4$-格上的三重性作用。在主对合处，Nadimpalli、Pattanayak 和 Prasad 已证明特征标值为 $\pm 1/2$ 乘以 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})\times\mathrm{Spin}(7,\mathbb{C})$ 的一个不可约表示的维数。比较这两个结果，我们发现 $F_4(\mathbb{C})$ 的特征标在两个对合处为零的最高权完全相同。这些结果合在一起确定了 $F_4(\mathbb{C})$ 的所有不可约特征标在所有对合处的值。我们还解释了在 $t$ 处的公式如何与 Gross、Kostant、Ramond 和 Sternberg 的广义 Weyl 特征标公式相关联。
英文摘要：
The exceptional group $F_4(\mathbb{C})$ has two conjugacy classes of involutions: an involution $t$ with centralizer $\mathrm{Spin}(9,\mathbb{C})$, and the principal involution, with centralizer $(\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})\times\mathrm{Sp}(6,\mathbb{C}))/\{\pm1\}$. We determine the values of all irreducible characters of $F_4(\mathbb{C})$ at $t$. For the irreducible representation with highest weight $aω_1+bω_2+cω_3+dω_4$ (in Bourbaki's labelling), we show that the character vanishes at $t$ if and only if $c$ and $d$ are both odd. In all other cases its value is $\pm 2^{-7}$ times the dimension of an explicit irreducible representation of $\mathrm{Spin}(9,\mathbb{C})$. The proof is a limiting argument in the Weyl character formula, combined with a decomposition over the three cosets of $W(B_4)$ in $W(F_4)$ and the triality action of $W(F_4)=W(D_4)\rtimes S_3$ on the weight lattice modulo the $D_4$-lattice. At the principal involution, Nadimpalli, Pattanayak and Prasad showed that the character value is $\pm 1/2$ times the dimension of an irreducible representation of $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})\times\mathrm{Spin}(7,\mathbb{C})$. Comparing the two results, we find that the characters of $F_4(\mathbb{C})$ vanish at the two involutions for exactly the same highest weights. Together these results determine all irreducible characters of $F_4(\mathbb{C})$ at all involutions. We also explain how our formula at $t$ relates to the generalized Weyl character formula of Gross, Kostant, Ramond and Sternberg.
