发表机构
Nanjing University; East China Normal University; Fuzhou University（南京大学; 华东师范大学; 福州大学）
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本文证明了有向直径函数 $f(d)$ 的上界为 $\lceil d^2/2\rceil+6d$，从而确定了其二次项主导系数，并给出渐近紧界。
AI 中文摘要
设 $f(d)$ 为最小整数，使得每个直径为 $d$ 的连通无桥图都有一个有向直径至多为 $f(d)$ 的定向。Chvátal 和 Thomassen (1978) 证明了 $\u2308{d^2}/{2}\u2309+d\le f(d) \le 2d^2+2d$。本文证明 $f(d)\le \left\lceil d^2/2\right\rceil+6d$，这表明 $f(d)= d^2/2+\Theta(d)$ 并确定了 $f(d)$ 的二次项主导系数。我们证明的关键方法是构造一个中心子图 $H$，使得它有一个直径为 $O(d)$ 的强定向，并且 $H$ 与 $H$ 外每个顶点之间的距离至多为 $ d/2 $。
英文摘要
Let $f(d)$ be the smallest integer such that every connected bridgeless graph of diameter $d$ admits an orientation with directed diameter at most $f(d)$. Chvátal and Thomassen (1978) proved $\left\lceil{d^2}/{2}\right\rceil+d\le f(d) \le 2d^2+2d$. In this paper, we prove that $f(d)\le \left\lceil d^2/2\right\rceil+6d$, which shows $f(d)= d^2/2+Θ(d)$ and determine the leading quadratic coefficient of $f(d)$. The key method of our proof is to construct a central subgraph $H$ such that it admits a strong orientation of diameter $O(d)$ and the distance between $H$ and every vertex outside $H$ is at most $ d/2 $.
