发表机构
Sun Yat-sen University; Southern University of Science and Technology; Indiana University Bloomington（中山大学; 南方科技大学; 印第安纳大学布卢明顿分校）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文给出Falconer距离猜想$5/4$结果的另一种证明，通过$L^2$球膨胀方法，在填充维数小于2时改进阈值，并恢复相关结果。
AI 中文摘要
我们给出了Guth-Iosevich-Ou-Wang关于Falconer距离猜想的$5/4$结果的另一种证明：如果平面中的紧集$E$的豪斯多夫维数$>5/4$，则存在$x\in E$使得固定距离集$$\Delta_x(E):=\{|x-y|: y\in E\} $$具有正的勒贝格测度。此外，如果$E$的填充维数$<2$，我们能够突破$5/4$的障碍。更一般地，我们获得了涉及$E$的豪斯多夫维数和填充维数的充分条件。当$E$的填充维数$<2$时，这些条件改进了$5/4$的阈值，并恢复了第二作者关于$\dim_H E=\dim_P E>1$的结果。该证明基于$L^2$球膨胀，不使用解耦不等式。
英文摘要
We give an alternative proof of the $5/4$ result of Guth-Iosevich-Ou-Wang on the Falconer distance conjecture: if a compact set $E$ in the plane has Hausdorff dimension $>5/4$, then there exists $x\in E$ such that the pinned distance set $$Δ_x(E):=\{|x-y|: y\in E\} $$ has positive Lebesgue measure. Moreover, we are able to beat the $5/4$ barrier if the packing dimension of $E$ is $<2$. More generally, we obtain sufficient conditions involving both the Hausdorff and packing dimensions of $E$. These conditions improve the $5/4$ threshold when the packing dimension of $E$ is $<2$, and recover the second author's result for $\dim_H E=\dim_P E>1$. The proof is based on $L^2$ ball inflation and does not use decoupling inequalities.
Comments35 pages
