发表机构
Cheriton School of Computer Science University of Waterloo; University of Wisconsin-Madison; Department of Mathematics and Statistics University of Turku; Meta Superintelligence Labs（滑铁卢大学切里顿计算机科学学院; 威斯康星大学麦迪逊分校; 图尔库大学数学与统计系; Meta超智能实验室）
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本文研究正整数余数集合的基数误差项，证明对任意α>√2误差项无固定幂次节省，并给出α∈(0,√2)时的互补上界，确定√2为关键阈值。
AI 中文摘要
对于正整数 $n$，设 $$ S_1(n)=\{n\bmod k:1\leq k\leq\lfloor n/2\rfloor\}, \qquad s_1(n)=|S_1(n)|. $$ Baraskar 和 Vukusic 证明了 $s_1(n)=\Xi n+O(n/(\log n\log\log n))$，其中 $\Xi$ 是一个显式正常数，并提出了寻求更精确误差项的问题。他们的计算表明可能成立 $O(n^{1/3})$ 的界。我们证明，对每个 $\alpha>\sqrt2$，有 $$ \limsup_{n\to\infty} \frac{s_1(n)-\Xi n}{n\exp\{-\alpha\sqrt{\log n\log\log n}\}} =\infty, $$ 且相应的下极限为 $-\infty$。特别地，不可能有固定的幂次节省。我们还证明了互补的上界估计 $$ s_1(n)=\Xi n+O\left( n\exp\{-\alpha\sqrt{\log n\log\log n}\} \right) $$ 对每个固定的 $\alpha\in (0,\sqrt{2})$ 成立，从而改进了之前的 $O(n/(\log n\log\log n))$ 界。因此，常数 $\sqrt2$ 是形如 $n\exp\{-\alpha\sqrt{\log n\log\log n}\}$ 的界的阈值。
英文摘要
For a positive integer $n$, let $$ S_1(n)=\{n\bmod k:1\leq k\leq\lfloor n/2\rfloor\}, \qquad s_1(n)=|S_1(n)|. $$ Baraskar and Vukusic proved $s_1(n)=Ξn+O(n/(\log n\log\log n))$ for an explicit positive constant $Ξ$, and asked for a sharper error term. Their computations suggested that an $O(n^{1/3})$ bound might hold. We prove that, for every $α>\sqrt2$, $$ \limsup_{n\to\infty} \frac{s_1(n)-Ξn}{n\exp\{-α\sqrt{\log n\log\log n}\}} =\infty, $$ and the corresponding limit inferior is $-\infty$. In particular, no fixed power saving is possible. We also prove the complementary upper estimate $$ s_1(n)=Ξn+O\left( n\exp\{-α\sqrt{\log n\log\log n}\} \right) $$ for every fixed $α\in (0,\sqrt{2})$, sharpening the previous $O(n/(\log n\log\log n))$ bound. Thus, the constant $\sqrt2$ is the threshold for bounds of the form $n\exp\{-α\sqrt{\log n\log\log n}\}$.
