强 $\ell^r$ 球面极大函数
The strong $\ell^r$ spherical maximal function
AI总结：
本文研究 $\ell^r$ 单位球面强极大算子的 $L^p$ 有界性，给出充要条件，并证明局部极大算子的最优 $L^p\to L^q$ 界，方法结合二进分解、驻相法、$TT^*$ 论证及多参数局部光滑。
AI中文摘要：
设 $d\ge3$ 且 $2\le r<\infty$。我们考虑与 $\ell^r$ 单位球面上的欧几里得曲面平均值及独立坐标伸缩相关的强极大算子。我们证明该算子在 $L^p(\mathbb R^d)$ 上有界当且仅当 \\[ p>\max\left\{\frac{d+1}{d-1},\frac{r}{d-1}\right\}. \\] 我们还获得了相应局部极大算子的 $L^p\to L^q$ 有界性。对于某些范围内的每个固定 $p$，所得的 $q$ 范围在端点意义下是最优的。证明使用了二进曲面分解和频率局部化的 $L^2$ 估计。我们通过将精确乘子分解（经由迭代驻相法）与标量傅里叶反演及 $TT^*$ 论证相结合来建立这些估计。在三维情形下，这些估计与定量多参数局部光滑性相结合。
英文摘要：
Let $d\ge3$ and $2\le r<\infty$. We consider the strong maximal operator associated with Euclidean surface averages over the $\ell^r$ unit sphere and independent coordinate dilations. We prove that this operator is bounded on $L^p(\mathbb R^d)$ if and only if \[ p>\max\left\{\frac{d+1}{d-1},\frac{r}{d-1}\right\}. \] We also obtain $L^p\to L^q$ bounds for the corresponding local maximal operator. For each fixed $p$ in certain ranges, the resulting range of $q$ is optimal up to endpoints. The proof uses a dyadic surface decomposition and frequency-localized $L^2$ estimates. We establish these estimates by combining exact multiplier factorization via iterated stationary phase with scalar Fourier inversion and $TT^*$ arguments. In dimension three, these estimates are combined with quantitative multiparameter local smoothing.
