近爱因斯坦流形上带积分曲率偏差的谱间隙估计

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设 $(M^n,g)$ 为维数 $n\ge 2$ 的紧致黎曼流形，可能具有非空凸 $C^2$ 边界。我们研究 Laplace--Beltrami 算子的第一个非零特征值 $\lambda_1(M)$，当 $\partial M\neq\emptyset$ 时满足 Neumann 边界条件。给定参考标量曲率 $R_E>0$，令 $K_E:=R_E/(n(n-1))$，并定义无迹 Ricci 张量 $\mathring{\Ric}:=\Ric-\frac{R}{n}g$ 以及 Einstein 偏差 \\[ \Theta:=|\mathring{\Ric}|+\frac{|R-R_E|}{n},\qquad \kappa_{\mathrm{Ein}}(p):=\left(\frac{1}{\vol(M)}\int_M\Theta^p\\,dV\right)^{1/p}, \quad p>n/2. \\] 若 $\kappa_{\mathrm{Ein}}(p)<\varepsilon$，则称 $M$ 为 $\varepsilon$-近 Einstein 流形。主要结果断言：对每个 $\alpha\in(0,1)$，存在 $\varepsilon_0=\varepsilon_0(n,p,\alpha,D,R_E)>0$，使得若 $\diam(M)\le D$ 且 $\kappa_{\mathrm{Ein}}(p)<\varepsilon_0$，则 \\[ \lambda_1(M)\ge \alpha\\,\lambda_1(n,K_E,D), \\] 其中 $\lambda_1(n,K,D)$ 是曲率参数为 $K$ 的 Bakry--Qian 一维模型问题的第一个非零特征值，约定当 $K>0$ 且 $D\ge\pi/\sqrt{K}$ 时 $\lambda_1(n,K,D)=nK$。证明结合了分解 $\Ric=(n-1)K_Eg+\theta g+\mathring{\Ric}$ 的 Bochner 公式与满足 \\[ \Delta J-\tau\frac{|\nabla J|^2}{J}-2J\Theta=-\sigma J \\] 及 Neumann 边界条件的辅助函数 $J$，并利用 Moser 迭代和最大值原理。当 $\kappa_{\mathrm{Ein}}(p)\to0$ 时，该估计恢复经典的 Bakry--Qian 定理。

英文摘要

Let $(M^n,g)$ be a compact Riemannian manifold of dimension $n\ge 2$, possibly with nonempty convex $C^2$ boundary. We study the first nonzero eigenvalue $λ_1(M)$ of the Laplace--Beltrami operator, subject to the Neumann boundary condition when $\partial M\neq\emptyset$. Given a reference scalar curvature $R_E>0$, set $K_E:=R_E/(n(n-1))$, and define the traceless Ricci tensor $\mathring{\Ric}:=\Ric-\frac{R}{n}g$ and the Einstein deviation \[ Θ:=|\mathring{\Ric}|+\frac{|R-R_E|}{n},\qquad κ_{\mathrm{Ein}}(p):=\left(\frac{1}{\vol(M)}\int_MΘ^p\,dV\right)^{1/p}, \quad p>n/2. \] We say that $M$ is $\varepsilon$-nearly Einstein if $κ_{\mathrm{Ein}}(p)<\varepsilon$. The main result states that for every $α\in(0,1)$ there exists $\varepsilon_0=\varepsilon_0(n,p,α,D,R_E)>0$ such that if $\diam(M)\le D$ and $κ_{\mathrm{Ein}}(p)<\varepsilon_0$, then \[ λ_1(M)\ge α\,λ_1(n,K_E,D), \] where $λ_1(n,K,D)$ is the first nonzero eigenvalue of the Bakry--Qian one-dimensional model problem with curvature parameter $K$, with the convention $λ_1(n,K,D)=nK$ when $K>0$ and $D\geπ/\sqrt{K}$. The proof combines the Bochner formula for the decomposition $\Ric=(n-1)K_Eg+θg+\mathring{\Ric}$ with an auxiliary function $J$ satisfying \[ ΔJ-τ\frac{|\nabla J|^2}{J}-2JΘ=-σJ \] and Neumann boundary conditions, together with Moser iteration and a maximum principle. As $κ_{\mathrm{Ein}}(p)\to0$, the estimate recovers the classical Bakry--Qian theorem.

发表机构

• School of Mathematics, Yunnan Normal University（云南师范大学数学学院）

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