AI 中文总结
本文引入希尔伯特空间算子的 \\(L^2\\)-笛卡尔数值半径，研究其性质并与经典数值半径比较，建立锐利上下界估计。
AI 中文摘要
设 \\(\mathcal{H}\\) 为复希尔伯特空间，且 \\(T=H+iK\in\mathcal{B}(\mathcal{H})\\) 为 \\(T\\) 的笛卡尔分解，其中 \\(H=H^{*}\\)，\\(K=K^{*}\\)。我们引入 \\(L^2\\)-笛卡尔数值半径 \\[ \omega_2(T)=\left(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\\|\cos\theta H+\sin\theta K\\|^2\\,d\theta\right)^{1/2}. \\] 我们研究其基本性质，并将其与经典数值半径 \\(\omega(T)\\) 进行比较。特别地，我们建立了锐利估计 \\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\omega(T)\le \omega_2(T)\le \omega(T), \\] 并建立了用笛卡尔部分 \\(H,K\\) 表示的下界和上界。作为推论，我们得到 \\[ \frac{1}{4}\left\\|T^{*}T+TT^{*}\right\\|\le \omega_2(T)^2\le \omega(T)^2. \\]
英文摘要
Let \(\mathcal{H}\) be a complex Hilbert space, and let \(T=H+iK\in\mathcal{B}(\mathcal{H})\) be the Cartesian decomposition of \(T\), where \(H=H^{*}\) and \(K=K^{*}\). We introduce the \(L^2\)-Cartesian numerical radius \[ ω_2(T)=\left(\frac{1}{2π}\int_0^{2π}\|\cosθH+\sinθK\|^2\,dθ\right)^{1/2}. \] We study its basic properties and compare it with the classical numerical radius \(ω(T)\). In particular, we establish the sharp estimate \[ \frac{1}{\sqrt{2}}ω(T)\le ω_2(T)\le ω(T), \] and establish lower and upper bounds in terms of the Cartesian parts \(H,K\). As a product, we obtain \[ \frac{1}{4}\left\|T^{*}T+TT^{*}\right\|\le ω_2(T)^2\le ω(T)^2. \]
