发表机构
School of Mathematics and Statistics, Jiangxi Normal University（江西师范大学数学与统计学院）
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本文针对一类带非局部速度的多维输运方程，通过改进逐点不等式和建立新的加权非线性不等式，改进了已有积分不等式并证明了光滑径向初值数据的有限时间爆破。
AI 中文摘要
本文重新研究了一类具有非局部速度的多维输运方程，其形式为 ∂tρ+gR_aρ·∇ρ=0，ρ(·,0)=ρ_0，其中变换 R_a 定义为 R_aρ(x,t)=Γ((n+1)/2)/π^((n+1)/2) P.V.∫_{R^n} ((x-y)/|x-y|^(n+1) - (x-y)/(|x-y|^2+a^2)^((n+1)/2)) ρ(y,t) dy。该模型首次在 [W. Zhang, J. Differential Equations 467 (2026) 114275] 中引入，作为著名的 Kiselev-Sarsam 方程的自然推广，后者由 [A. Kiselve and N.A. Sarsam, Nonlinearity 38 (2025) 055018] 提出。通过利用变换 R_a 的一个改进的逐点不等式，我们获得了 Zhang [31] 中针对变换 R_a 证明的非线性积分不等式的一个更好且更自然的版本。此外，我们还建立了变换 R_a 的一个新的加权非线性不等式，该不等式蕴含一类光滑径向初值数据的有限时间爆破。
英文摘要
In this paper, we revisit a multi-dimensional nonlocal transport equation of the form \begin{eqnarray*} \partial_tρ+g\mathcal{R}_aρ\cdot \nablaρ= 0,~ρ(\cdot,0)=ρ_{0}, \end{eqnarray*} where the transform $\mathcal{R}_a$ is defined by \begin{eqnarray*} \mathcal{R}_aρ(x,t)=\frac{Γ(\frac{n+1}{2})}{π^{\frac{n+1}{2}}}P.V.\int\limits_{\mathbb{R}^n}\Big(\frac{x-y}{|x-y|^{n+1}}-\frac{x-y}{(|x-y|^2+a^2)^{\frac{n+1}{2}}}\Big)ρ(y,t)dy. \end{eqnarray*} This model was first introduced in [W. Zhang, J. Differential Equations 467 (2026) 114275] as a natural generalization of the well-known Kiselev-Sarsam equation proposed in [A. Kiselve and N.A. Sarsam, Nonlinearity 38 (2025) 055018]. By using an improved pointwise inequality for the transform $\mathcal{R}_a$, we obtain a better and more natural version of a nonlinear integral inequality proved in Zhang [31] for the transform $\mathcal{R}_a$. In addition, we also establish a new weighted nonlinear inequality for the transform $\mathcal{R}_a$ implying the finite-time blow-up for a class of smooth radial initial data.
Comments43 pages
