发表机构
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）
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本文证明除数函数分数次和的渐近公式，给出更优的误差项指数，改进了L. Wu (2025)的结果。
AI 中文摘要
设 $d(n)$ 为除数函数，$[t]$ 表示实数 $t$ 的整数部分。我们证明 \begin{align*} \sum_{n\leq x^{1/c}}d\left(\left[\frac{x}{n^c}\right]\right)=d_cx^{1/c}+O_{\varepsilon,c}(x^{\theta_c+\varepsilon}), \end{align*} 其中 $d_c$ 为适当常数，\begin{align*} \theta_c=\frac{2(c+1)}{2c^2+(5+i)c+2}, \quad \text{当}\\ 2\kappa_{i+1}/(1-\kappa_{i+1}+\lambda_{i+1})\leq c<2\kappa_i/(1-\kappa_i+\lambda_i), \end{align*} 且数对 $(\kappa_i,\lambda_i)$ 满足 \begin{align*} (\kappa_1,\lambda_1)=\left(\frac{1}{14},\frac{11}{14}\right),\quad (\kappa_{i+1},\lambda_{i+1})=\left(\frac{\kappa_i}{2\kappa_i+2},\frac{\kappa_i+\lambda_i+1}{2\kappa_i+2}\right), \quad i\geq 1. \end{align*} 该结果改进了 L. Wu (2025) 的相应结果。
英文摘要
Let $d(n)$ be the divisor function and denote by $[t]$ the integral part of the real number $t$. We prove that \begin{align*} \sum_{n\leq x^{1/c}}d\left(\left[\frac{x}{n^c}\right]\right)=d_cx^{1/c}+O_{\varepsilon,c}(x^{θ_c+\varepsilon}), \end{align*} where $d_c$ is a suitable constant, $θ_c<2/(3c+2)$ for $0<c<2/11$. This result constitutes an improvement upon that of Y. Feng (2024).
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