Riemann zeta 函数的谱性质及其物理应用
Spectral properties of the Riemann zeta function and their physical applications
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该工作数值研究 Riemann ζ 函数的谱性质及其物理应用，验证了高斯幺正系综预测、确定了玻色-爱因斯坦凝聚临界温度，并应用 ζ 函数正则化计算 Casimir 能量密度，结果与相关猜想一致。
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本研究以数值方法研究 Riemann ζ 函数，重点关注其物理表现。考察了三个方面：（i）非平凡零点的谱统计，我们将其与高斯幺正系综的预测进行比较，得到 χ²/自由度 = 1.2；（ii）ζ(3/2) 在确定玻色-爱因斯坦凝聚临界温度中的作用，对于理想气体我们得到 T_c = 0.13 K；（iii）ζ 函数正则化在 Casimir 效应中的应用，得到标准 Casimir 能量密度 -π²ħc/(720a³)，对于 a=1 nm 时约为 -4.33×10⁻⁴ J·m⁻²。数值结果与 Montgomery-Odlyzko 猜想以及受 Hilbert-Pólya 猜想启发的谱方法在分析的统计限制内一致。
英文摘要
This work studies the Riemann $ζ$ numerically with emphasis on its physical manifestations. Three areas are examined: (i) the spectral statistics of the non-trivial zeros, which we compare with the Gaussian Unitary Ensemble predictions, obtaining $χ^2/\text{dof} = 1.2$; (ii) the role of $ζ(\frac{3}{2})$ in determining the critical temperature for Bose-Einstein condensation, where we find $T_c = 0.13$ K for an ideal gas; and (iii) the application of $ζ$-function regularisation to the Casimir effect, yielding the standard Casimir energy density $-\frac{π^2 \hbar c}{720 a^3}$, which for $a=1\,\mathrm{nm}$ gives $\sim -4.33\times10^{-4}\,\mathrm{J\,m^{-2}}$. The numerical results are consistent with the Montgomery-Odlyzko conjecture and with spectral approaches motivated by the Hilbert-Pólya conjecture, within the statistical limitations of the analysis.
发表机构
- Acad. Georgi Nadjakov Institute of Solid State Physics – BAS（乔治·纳贾科夫固体物理学院 - 保加利亚科学院）
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