发表机构
Universidade Federal de São Paulo; Indian Institute of Science Education and Research Mohali（圣保罗联邦大学; 昌迪加尔印度科学教育与研究所）
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本文研究八元数代数上广义交换子的像，给出其满射的充要条件，并证明迹零八元数为交换子，同时推广了四元数代数上的相关结果。
AI 中文摘要
设 $\mathcal O$ 是特征不为 $2$ 的域 $F$ 上的八元数代数，且设 $A,B\in\mathcal O$，不全为零。我们研究广义交换子 $\Phi(x,y)=A(xy)-B(yx)$ 在 $\mathcal O$ 上的像。我们证明 $\Phi$ 是满射当且仅当 $A$ 和 $B$ 中恰有一个可逆且 $A\neq B$，或者 $A$ 和 $B$ 是非零零因子且 $A-B$ 可逆。在其余情形下，$\Phi$ 的像是 $\mathcal O$ 的一个超平面或一个四维极大全迷向子空间，除非 $A$ 和 $B$ 是线性无关的零因子且 $A-B$ 不可逆，此时像张成一个六维子空间。在此过程中，我们证明每个迹为零的八元数都是交换子。我们还证明 $Axy-Byx$ 在 $F$ 上任意四元数代数上的像是一个向量子空间，推广了 Panja S.、Saini P. 和 Singh A. 关于代数闭域上 $2\times 2$ 矩阵的结果（Images of polynomial maps with constants, Mathematika 71 (2025), no. 3, Paper No. e70031），并给出了其他广义多项式的像不是向量子空间的例子。
英文摘要
Let $\mathcal O$ be an octonion algebra over a field $F$ of characteristic different from $2$, and let $A,B\in\mathcal O$, not both zero. We study the image of the generalized commutator $Φ(x,y)=A(xy)-B(yx)$ on $\mathcal O$. We prove that $Φ$ is surjective if and only if either one of $A$ and $B$ is invertible and $A\neq B$, or $A$ and $B$ are nonzero zero divisors and $A-B$ is invertible. In the remaining cases, the image of $Φ$ is a hyperplane or a four-dimensional maximal totally isotropic subspace of $\mathcal O$, except when $A$ and $B$ are linearly independent zero divisors and $A-B$ is not invertible, in which case the image spans a six-dimensional subspace. Along the way, we show that every octonion of trace zero is a commutator. We also prove that the image of $Axy-Byx$ on any quaternion algebra over $F$ is a vector subspace, extending a result of Panja S., Saini P. and Singh A. (Images of polynomial maps with constants, Mathematika 71 (2025), no. 3, Paper No. e70031) for $2\times 2$ matrices over algebraically closed fields, and we give examples of other generalized polynomials whose images are not vector subspaces.
CommentsPreliminary version; 30 pages
