AI 中文总结
本文证明了 $\mathbb{Q}_p^n$ 上 Vladimirov--Taibleson 算子二次型、分数阶导数 $L^q$ 范数及非线性差分能量的锐利 Hardy 不等式，给出了精确常数、极小化序列及等式条件，并表明完整空间上不等式成立当且仅当 $sq<n$。
AI 中文摘要
我们证明了 $\mathbb{Q}_p^n$ 上 Vladimirov--Taibleson 算子的二次型、其分数阶导数的 $L^q$ 范数以及非线性差分能量的锐利 Hardy 不等式。在自对偶傅里叶归一化下，对于 $0<\alpha<n$，锐利二次型常数为 $[(1-p^{-(n-\alpha)/2})/(1-p^{-(n+\alpha)/2})]^2$，余项由基态表示给出。对于 $1<q<\infty$，$q'=q/(q-1)$，以及 $0<s<n/q$，一个加权的 Schur 估计确定了加权 Riesz 势 $\\|\boldsymbol{x}\\|_p^{-s}I_s$ 的精确 $L^q$ 范数，从而给出锐利线性 Hardy 常数 $[\Gamma_{p}^{(n)}(n/q'+s)/\Gamma_{p}^{(n)}(n/q')]^q$。两点 Picone 不等式和壳层分解给出了具有核 $\\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\\|_p^{-n-sq}$ 的 Gagliardo 型能量的锐利常数 $2(1-p^{-n})\sum_{m\ge1}p^{-sqm}(1-p^{-(n/q-s)m})^q$。临界幂的环形截断给出了具有误差估计的显式极小化序列。在每个所述类别中，等式仅由零函数取得。对于 $q=2$，两个 $L^q$ 不等式都归结为二次型不等式。均匀局部常值性使得差分能量对每个 Bruhat--Schwartz 函数和每个 $s>0$ 都是有限的。因此，完整测试函数空间上的 Hardy 不等式恰好在 $sq<n$ 时成立，无需限制 $s<1$。
英文摘要
We prove sharp Hardy inequalities on $\mathbb{Q}_p^n$ for the quadratic form of the Vladimirov--Taibleson operator, the $L^q$ norm of its fractional derivative, and a nonlinear difference energy. Under the self-dual Fourier normalization, the sharp quadratic-form constant for $0<α<n$ is $[(1-p^{-(n-α)/2})/(1-p^{-(n+α)/2})]^2$, with a remainder given by the ground state representation. For $1<q<\infty$, $q'=q/(q-1)$, and $0<s<n/q$, a weighted Schur estimate determines the exact $L^q$ norm of the weighted Riesz potential $\|\boldsymbol{x}\|_p^{-s}I_s$, giving the sharp linear Hardy constant $[Γ_{p}^{(n)}(n/q'+s)/Γ_{p}^{(n)}(n/q')]^q$. The two-point Picone inequality and shell decomposition give the sharp constant $2(1-p^{-n})\sum_{m\ge1}p^{-sqm}(1-p^{-(n/q-s)m})^q$ for the Gagliardo-type energy with kernel $\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|_p^{-n-sq}$. Annular truncations of the critical powers give explicit minimizing sequences with error estimates. Equality is attained only by the zero function in each stated class. For $q=2$, both $L^q$ inequalities reduce to the quadratic-form inequality. Uniform local constancy makes the difference energy finite for every Bruhat--Schwartz function and every $s>0$. The Hardy inequalities on the full test-function space therefore hold precisely when $sq<n$, without the restriction $s<1$.
