发表机构
Steklov Mathematical Institute of Russian academy of Sciences（俄罗斯科学院斯捷克洛夫数学研究所）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文在均匀局部加倍且满足弱局部Poincaré不等式的度量测度空间上，证明了Borel映射属于Ambrosio--Reshetnyak--Sobolev类的充要条件是其与任意1-Lipschitz函数的复合属于Sobolev空间，从而提供了该映射类的新刻画。
AI 中文摘要
给定 $p \in (1,\infty)$，设 $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\rho,\mu)$ 是一个度量测度空间，其中测度 $\mu$ 是均匀局部倍数的，且 $\operatorname{X}$ 支持弱局部 $(1,p)$-Poincaré 不等式。设 $(\operatorname{Y},\operatorname{d},\underline{y})$ 是一个完备的尖度量空间。我们证明，一个Borel映射 $u:\operatorname{X} \to \operatorname{Y}$ 的等价类（模 $\mu$-几乎处处重合）属于 Ambrosio--Reshetnyak--Sobolev 类 $W_{p}^{1}(\operatorname{X},\operatorname{Y})$ 当且仅当对于每个 $1$-Lipschitz 函数 $h:\operatorname{Y} \to \mathbb{R}$，$h \circ u$ 属于 Sobolev 空间 $W_{p}^{1}(\operatorname{X})$。
英文摘要
Given $p \in (1,\infty)$, let $\operatorname{X}=(\operatorname{X},ρ,μ)$ be a metric measure space such that the measure $μ$ is uniformly locally doubling and $\operatorname{X}$ supports a weak local $(1,p)$-Poincaré inequality. Let $(\operatorname{Y},\operatorname{d},\underline{y})$ be a complete pointed metric space. We prove that the equivalence class of a Borel map $ u:\operatorname{X} \to \operatorname{Y}$ (modulo coincidence $μ$-a.e.) belongs to the Ambrosio--Reshetnyak--Sobolev class $W_{p}^{1}(\operatorname{X},\operatorname{Y})$ if and only if $h \circ u$ belongs to the Sobolev space $W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ for every $1$-Lipschitz function $h:\operatorname{Y} \to \mathbb{R}$.
