格的渐近 Schur 正交性

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设 $\pi:G\to \mathcal{U}(L^{2}(G/P,\nu))$ 为非紧连通半单李群 $G$（具有有限中心）在其 Furstenberg-Poisson 边界 $(G/P,\nu)$ 上的边界表示。设 $\Gamma\subset G$ 为 $G$ 中的一个格（均匀或非均匀）。我们证明，对于 $G/P$ 上的任意连续函数 $\varphi,\psi,\varphi',\psi'$，有 $$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{|\Gamma_{n}|}\sum_{\gamma\in \Gamma_{n}}\frac{\langle\pi(\gamma)\varphi,\psi\rangle\overline{\langle\pi(\gamma)\varphi',\psi'\rangle}}{\Xi^{2}(\gamma)}=\langle \varphi,\varphi'\rangle\overline{\langle\psi,\psi'\rangle}, $$ 其中 $\Gamma_{n}$ 是 $\Gamma$ 中相对于自然长度函数、以 $G$ 的单位元为中心的半径为 $n$ 的球，$\Xi$ 是 $G$ 的 Harish-Chandra 函数在 $\Gamma$ 上的限制。作为推论，我们得出当 $G$ 的实秩为 1 时，对于 $L^{2}(G/P,\nu)$ 中的任意 $\varphi,\psi,\varphi',\psi'$，上述收敛成立当且仅当格 $\Gamma$ 是均匀的。

英文摘要

Let $π:G\to \mathcal{U}(L^{2}(G/P,ν))$ be the boundary representation of a non-compact connected semisimple Lie group $G$ with finite center on its Furstenberg-Poisson boundary $(G/P,ν)$. Let $Γ\subset G$ be a lattice in $G$ (uniform or not). We show that for any \emph{continuous} functions $φ,ψ,φ',ψ'$ on $G/P$, $$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{|Γ_{n}|}\sum_{γ\in Γ_{n}}\frac{\langleπ(γ)φ,ψ\rangle\overline{\langleπ(γ)φ',ψ'\rangle}}{Ξ^{2}(γ)}=\langle φ,φ'\rangle\overline{\langleψ,ψ'\rangle}, $$ where $Γ_{n}$ is a ball in $Γ$ with radius $n$ relative to a natural length function and with center the identity element of $G$, and $Ξ$ is the restriction to $Γ$ of the Harish-Chandra function of $G$. As a corollary, we deduce that when the real rank of $G$ is one, then the analogous convergence holds for any $φ,ψ,φ',ψ'$ in $L^{2}(G/P,ν)$ if and only if the lattice $Γ$ is uniform.

发表机构

• Institute of Mathematics, Wroclaw University（弗罗茨瓦夫大学数学研究所）
• Université Paris Cité（巴黎西岱大学）
• I2M CNRS UMR7373 Aix-Marseille Univ.（艾克斯-马赛大学法国国家科学研究中心I2M联合研究实验室）

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