光滑平面曲线上的三次等差数列
Cubic Progressions on Smooth Plane Curves
AI总结：
本文证明数域上次数至少为5的光滑平面曲线上任何三次算术或几何级数序列有限，通过Kummer覆盖塔与Kadets-Vogt分类等方法实现，并指出d=4时存在反例。
AI中文摘要：
设 $C \subset \Pbb^2_k$ 是数域 $k$ 上次数 $d \ge 5$ 的光滑射影平面曲线。我们证明 $C$ 上任何三次算术或几何级数序列都是有限的。证明依赖于由 $C$ 上线性形式商的除子控制的循环 Kummer 覆盖的素数 $p$ 塔，结合 Kadets--Vogt 对具有无穷多个三次点的曲线的分类、Abramovich--Harris 亏格下降、Kadets--Vogt 在塔的连续层级独立提供的椭圆映射的 Castelnuovo--Severi 分解，以及一个覆叠变换障碍。我们还在一个分圆非分裂假设下获得一个条件性的四次结果。当 $d = 4$ 且 $C(k) \neq \emptyset$ 时，存在无穷多个三次级数，因此主定理在该情形下没有类似物。
英文摘要：
Let $C \subset \Pbb^2_k$ be a smooth projective plane curve of degree $d \ge 5$ over a number field $k$. We prove that any cubic arithmetic or geometric progression sequence on $C$ is finite. The proof rests on a prime-$p$ tower of cyclic Kummer covers controlled by the divisor of a linear-form quotient on $C$, combined with the Kadets--Vogt classification of curves with infinitely many cubic points, the Abramovich--Harris gonality descent, a Castelnuovo--Severi factorization for the elliptic maps supplied by Kadets--Vogt independently at consecutive levels of the tower, and a deck-transformation obstruction. We also obtain a conditional quartic result under a cyclotomic non-splitting hypothesis. The case $d = 4$ with $C(k) \neq \emptyset$ admits infinite cubic progressions, so no analogue of the main theorem can hold there.
