AI 中文总结
本文证明了对任意正乘法上密度集合，存在满足 x^2+y^2w^2=z^2 的元素，推广了已有结果，并提出了乘法动力系统的新多重回归定理。
AI 中文摘要
我们证明，对于任何具有正乘法上密度的集合 $A$，存在 $x$、$y$、$z$ 和 $w$ 属于 $A$，使得 $x^2 + y^2w^2 = z^2$，推广了 Frantzikinakis、Klurman 和 Moreira 的一个结果。我们的技术更广泛地适用于一大类方程组，使我们能够同时求解这些方程，并且进一步将 $w$ 变量限制在一个完全不同的乘法稠密集合中。为此，我们证明了乘法动力系统的一个新的多重回归结果。
英文摘要
We prove that for any set $A$ with positive multiplicative upper density, there exist $x$, $y$, $z$ and $w$ in $A$ such that $x^2 + y^2w^2 = z^2$, generalizing a result of Frantzikinakis, Klurman and Moreira. Our techniques apply more broadly to a wide class of systems of equations, allowing us to solve these equations simultaneously and furthermore to restrict the w variable in an entirely different multiplicatively dense set. To do this, we prove a novel multiple recurrence result for multiplicative dynamical systems.
