发表机构
University of British Columbia; Universidad de Buenos Aires, IAM-CONICET, and Universidad Católica Argentina（不列颠哥伦比亚大学; 布宜诺斯艾利斯大学、IAM-CONICET和阿根廷天主教大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究布朗运动轨迹中的点配置，证明平面内平移集的维数保持性质，并给出高维下正则尺度不变配置的尖锐出现准则，扩展了Benjamini和Kozma关于最长算术级数的结果。
AI 中文摘要
我们研究了$\n\mathbb{R}^d$（$d\geq2$）中布朗运动轨迹上的有限和可数点配置。在平面中，将给定有限配置放置在轨迹上的平移集合，在每个非空开集中具有豪斯多夫维数二；我们证明了径向和双利普希茨模式的类似维数保持结果，并且每个给定的可数配置都有稠密的平移集合。对于$d\geq3$，我们证明了正则尺度不变配置族的尖锐出现准则，该准则以所有标记子配置的秩表示。它给出了算术级数以及有限集的位似和相似副本的精确阈值。特别地，我们恢复并扩展了Benjamini和Kozma的一个结果：几乎必然地，轨迹中最长算术级数的长度在$\mathbb{R}^3$中为五，在$\mathbb{R}^4$和$\mathbb{R}^5$中为三，在$d\geq6$的$\mathbb{R}^d$中为二。
英文摘要
We study finite and countable point configurations in the trace of Brownian motion in $\mathbb{R}^d$, $d\geq2$. In the plane, the set of translations placing a prescribed finite configuration on the trace has Hausdorff dimension two in every nonempty open set; we prove analogous dimension-preservation results for radial and bilipschitz patterns, and every prescribed countable configuration has a dense translation set. For $d\geq3$ we prove a sharp occurrence criterion for regular scale-invariant families of configurations, in terms of the ranks of all labelled subconfigurations. It gives exact thresholds for arithmetic progressions and for homothetic and similar copies of finite sets. In particular we recover and extend a result of Benjamini and Kozma: almost surely the longest arithmetic progression in the trace has length five in $\mathbb{R}^3$, three in $\mathbb{R}^4$ and $\mathbb{R}^5$, and two in $\mathbb{R}^d$ for $d\geq6$.
