发表机构
Universidade de Brasília（巴西利亚大学）
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本文证明具有实代数系数的有理函数将类型为$m$的Mahler $U$-数映射为类型在$\lceil m/(ed)\rceil$到$em$之间的$U$-数，且所有类型均可实现，并由此刻画了保持该类不变的仅为$\mathbb{Q}$上的Möbius变换。
AI 中文摘要
1906年，Maillet证明了$\mathbb{Q}$上的每个非常数有理函数将Liouville数映射为Liouville数。设$R$为具有实代数系数的非常数有理函数，次数为$d$，并设$e$为其在$\mathbb{Q}$上的最小定义域的次数。我们证明，对于每个$m\geq 1$，当$\xi$遍历类型为$m$的$U$-数时，$R(\xi)$的可能类型恰好是满足$\lceil m/(ed)\rceil\leq r\leq em$的整数$r$。此外，对于每个非空开区间，都存在某个类型为$m$的$\xi$使得$R(\xi)$具有上述每种类型$r$。因此，对于$m\geq2$，具有实代数系数且保持类型为$m$的$U$-数类不变的唯一有理函数是$\mathbb{Q}$上的Möbius变换。
英文摘要
In 1906, Maillet proved that every nonconstant rational function over $\mathbb{Q}$ maps Liouville numbers to Liouville numbers. Let $R$ be a nonconstant rational function with real algebraic coefficients, of degree $d$, and let $e$ be the degree of its minimal field of definition over $\mathbb{Q}$. We prove that, for every $m\geq 1$, the possible types of $R(ξ)$, as $ξ$ ranges over $U$-numbers of type $m$, are exactly the integers $r$ with $\lceil m/(ed)\rceil\leq r\leq em$. Moreover, every such type occurs for some $ξ$ of type $m$ in every nonempty open interval. Consequently, for $m\geq2$, the only rational functions with real algebraic coefficients preserving the class of $U$-numbers of type $m$ are the Möbius transformations over $\mathbb{Q}$.
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